Question

17．在直角梯形ABCD中，AB∥DC，AD⊥AB，AD=AB=2DC=2，點(diǎn)E、F分別在線段DC、AB上，設(shè)$\overrightarrow{DE}$=λ$\overrightarrow{DC}$，$\overrightarrow{AF}$=λ$\overrightarrow{AB}$，則$\overrightarrow{AE}$•$\overrightarrow{CF}$的最小值為-$\frac{33}{8}$．

Answer 1

分析 用$\overrightarrow{AB}，\overrightarrow{AD}$表示出$\overrightarrow{AE}，\overrightarrow{CF}$，計(jì)算$\overrightarrow{AE}$•$\overrightarrow{CF}$得出關(guān)于λ的二次函數(shù)，利用二次函數(shù)的性質(zhì)和λ的范圍得出最小值．

解答 解：$\overrightarrow{AE}=\overrightarrow{AD}+\overrightarrow{DE}$=$\overrightarrow{AD}+λ\overrightarrow{DC}$=$\overrightarrow{AD}+\frac{λ}{2}\overrightarrow{AB}$，
$\overrightarrow{CF}=\overrightarrow{CD}+\overrightarrow{DA}+\overrightarrow{AF}$=-$\frac{1}{2}$$\overrightarrow{AB}$-$\overrightarrow{AD}$+$λ\overrightarrow{AB}$=（$λ-\frac{1}{2}$）$\overrightarrow{AB}-\overrightarrow{AD}$，
∵AD⊥AB，AD=AB=2DC=2，
∴${\overrightarrow{AD}}^{2}$=${\overrightarrow{AB}}^{2}$=4，$\overrightarrow{AB}•\overrightarrow{AD}=0$，
∴$\overrightarrow{AE}•\overrightarrow{CF}$=（$\overrightarrow{AD}+\frac{λ}{2}\overrightarrow{AB}$）•[（$λ-\frac{1}{2}$）$\overrightarrow{AB}-\overrightarrow{AD}$]=$\frac{2{λ}^{2}-λ}{4}$${\overrightarrow{AB}}^{2}$-${\overrightarrow{AD}}^{2}$=2λ²-λ-4=2（λ-$\frac{1}{4}$）²-$\frac{33}{8}$，
∴當(dāng)λ=$\frac{1}{4}$時(shí)，$\overrightarrow{AE}•\overrightarrow{CF}$取得最小值-$\frac{33}{8}$．
故答案為：-$\frac{33}{8}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了平面向量的幾何運(yùn)算，數(shù)量積運(yùn)算，屬于中檔題．