Question

4．已知橢圓${C_1}：\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1（{a＞b＞0}）$的左、右焦點(diǎn)分別為F₁，F(xiàn)₂，且與直線x+y-1=0相交于A，B兩點(diǎn)．
（1）若橢圓C₁的兩焦點(diǎn)分別為雙曲線${C_2}：{x^2}-\frac{y^2}{2}=1$的頂點(diǎn)，且以橢圓上任一點(diǎn)P和左右焦點(diǎn)F₁，F(xiàn)₂為頂點(diǎn)的△PF₁F₂的周長(zhǎng)為$2\sqrt{3}+2$，求橢圓C₁的標(biāo)準(zhǔn)方程；
（2）在（1）的條件下，求弦AB的長(zhǎng)；
（3）當(dāng)橢圓的離心率e滿足$\frac{{\sqrt{3}}}{3}≤e≤\frac{{\sqrt{2}}}{2}$，且以AB為直徑的圓經(jīng)過(guò)坐標(biāo)原點(diǎn)O，求橢圓長(zhǎng)軸長(zhǎng)的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）求出雙曲線的頂點(diǎn)，得到橢圓的c，利用以橢圓上任一點(diǎn)P和左右焦點(diǎn)F₁，F(xiàn)₂為頂點(diǎn)的△PF₁F₂的周長(zhǎng)為$2\sqrt{3}+2$，求出a，然后求解橢圓方程．
（2）設(shè)點(diǎn)A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），聯(lián)立方程組$\left\{{\begin{array}{l}{x+y-1=0}\\{\frac{x^2}{3}+\frac{y^2}{2}=1}\end{array}}\right.$消去y，利用韋達(dá)定理以及弦長(zhǎng)公式求解即可．
（3）利用$\left\{{\begin{array}{l}{x+y-1=0}\\{\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1}\end{array}}\right.$消去y，整理得（a²+b²）x²-2a²x+a²（1-b²）=0，設(shè)點(diǎn)A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），通過(guò)△＞0，韋達(dá)定理，利用$\overrightarrow{OA}⊥\overrightarrow{OB}$，推出$\frac{1}{a^2}+\frac{1}{b^2}=2$，結(jié)合離心率的范圍，求解即可．

解答 解：（1）由題意橢圓C₁的兩焦點(diǎn)分別為雙曲線${C_2}：{x^2}-\frac{y^2}{2}=1$的頂點(diǎn)，可知：c=1…（1分）
$2a+2c=2\sqrt{3}+2$…（2分）
∴$a=\sqrt{3}$
∴$b=\sqrt{{a^2}-{c^2}}=\sqrt{2}$
∴橢圓C₁的方程為：$\frac{x^2}{3}+\frac{y^2}{2}=1$…（3分）
（2）設(shè)點(diǎn)A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），
由方程組$\left\{{\begin{array}{l}{x+y-1=0}\\{\frac{x^2}{3}+\frac{y^2}{2}=1}\end{array}}\right.$消去y，整理得5x²-6x-3=0…（4分）
求解可得${x_1}+{x_2}=\frac{6}{5}$，${x_1}•{x_2}=-\frac{3}{5}$…（5分）
$|{AB}|=\sqrt{2×[{{{（{\frac{6}{5}}）}^2}+4×\frac{3}{5}}]}=\frac{{8\sqrt{3}}}{5}$…（6分）
（3）由方程組$\left\{{\begin{array}{l}{x+y-1=0}\\{\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1}\end{array}}\right.$
消去y，整理得（a²+b²）x²-2a²x+a²（1-b²）=0
設(shè)點(diǎn)A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），△=（-2a²）²-4（a²+b²）•a²（1-b²）＞0，
${x_1}+{x_2}=\frac{{2{a^2}}}{{{a^2}+{b^2}}}$，${x_1}•{x_2}=\frac{{{a^2}（1-{b^2}）}}{{{a^2}+{b^2}}}$…（7分）
∵以AB為直徑的圓經(jīng)過(guò)坐標(biāo)原點(diǎn)O，∴$\overrightarrow{OA}⊥\overrightarrow{OB}$
∴x₁x₂+y₁y₂=2x₁x₂-（x₁+x₂）+1=0
∴$\frac{1}{a^2}+\frac{1}{b^2}=2$①…（8分）
又∵$e=\sqrt{1-\frac{b^2}{a^2}}∈$$[\frac{{\sqrt{3}}}{3}，\frac{{\sqrt{2}}}{2}]$，
∴$\frac{1}{2}≤\frac{b^2}{a^2}≤\frac{2}{3}$
由①可知${b^2}=\frac{a^2}{{2{a^2}-1}}$…（10分）
∴$\frac{1}{2}≤\frac{1}{{2{a^2}-1}}≤\frac{2}{3}$
∴$\frac{{\sqrt{5}}}{2}≤a≤\frac{{\sqrt{6}}}{2}$，
∴$\sqrt{5}≤2a≤\sqrt{6}$…（12分）

點(diǎn)評(píng) 本題考查橢圓的方程的求法，雙曲線與橢圓的綜合應(yīng)用，直線與橢圓的位置關(guān)系的綜合應(yīng)用，考查轉(zhuǎn)化思想以及計(jì)算能力．