Question

20．如圖，四棱錐P-ABCD中，底面ABCD是梯形，AB∥CD，∠DAB=60°，AB=AD=2CD，側(cè)面PAD⊥底面ABCD，且△PAD為等腰直角三角形，∠APD=90°，M為AP的中點．
（Ⅰ）求證：AD⊥PB；
（Ⅱ）求證：DM∥平面PCB；
（Ⅲ）求PB與平面ABCD所成角的大�。�

Answer 1

分析 （Ⅰ）取AD的中點G，連結(jié)PG，GB，BD，推導(dǎo)出PG⊥AD，BG⊥AD，從而AD⊥平面PBG，由此能證明AD⊥PB．
（Ⅱ）取PB的中點N，連結(jié)MN，CN，推導(dǎo)出四邊形MNCD是平行四邊形，由此能證明DM∥平面PCB．
（Ⅲ）推導(dǎo)出PG⊥底面ABCD，則∠PBG為PB與平面ABCD所成的角，由此能求出PB與平面ABCD所成的角．

解答 （本小題滿分13分）
證明：（Ⅰ）取AD的中點G，連結(jié)PG，GB，BD．
∵△PAD為等腰直角三角形，且∠APD=90°，
∴PA=PD，∴PG⊥AD．
∵AB=AD，且∠DAB=60°，∴△ABD是等邊三角形．
∴BG⊥AD．又PG∩BG=G，∴AD⊥平面PBG．
∴AD⊥PB． …（4分）
（Ⅱ）取PB的中點N，連結(jié)MN，CN．
∵M，N分別是PA，PB的中點，
∴MN∥AB，MN=$\frac{1}{2}$AB．
又AB∥CD，CD=$\frac{1}{2}AB$，
∴MN∥CD，MN=CD．
∴四邊形MNCD是平行四邊形．
∴DM∥CN．
又CN?平面PCB，DM?平面PCB，
∴DM∥平面PCB．   …（8分）
解：（Ⅲ）∵側(cè)面PAD⊥底面ABCD，側(cè)面PAD∩底面ABCD=AD，又PG⊥AD，
∴PG⊥底面ABCD．
∴∠PBG為PB與平面ABCD所成的角．
設(shè)CD=a，則PG=a，BG=$\sqrt{3}a$．
在Rt△PBG中，∵tan∠PBG=$\frac{PG}{BG}=\frac{\sqrt{3}}{3}$，
∴∠PBG=30°．
∴PB與平面ABCD所成的角為30°．…（13分）

點評 本題考查異面直線垂直的證明，考查線面垂直的證明，考查線面角的大小的求法，是中檔題，解題時要認(rèn)真審題，注意空間思維能力的培養(yǎng)．