Question

13．已知函數(shù)f（x）=x³-3x²-k有三個不同的零點(diǎn)，則實(shí)數(shù)k的取值范圍是（　�。�

• A． （-4，0）
• B． [-4，0）
• C． （-∞，-4）
• D． （0，+∞）

Answer 1

分析 根據(jù)題意求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)并且通過導(dǎo)數(shù)求出出原函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，進(jìn)而得到原函數(shù)的極值，因?yàn)楹瘮?shù)存在三個不同的零點(diǎn)，所以結(jié)合函數(shù)的性質(zhì)可得函數(shù)的極大值大于0，極小值小于0，即可單調(diào)答案．

解答 解：由題意可得：f′（x）=3x²-6x．
令f′（x）＞0，則x＞2或x＜0，令f′（x）＜0，則0＜x＜2，
所以函數(shù)f（x）的單調(diào)增區(qū)間為（-∞，0）和（2，+∞），減區(qū)間為（0，2），
所以當(dāng)x=0時函數(shù)有極大值f（0）=-k，當(dāng)x=2時函數(shù)有極小值f（2）=-4-k．
因?yàn)楹瘮?shù)f（x）存在三個不同的零點(diǎn)，
所以f（0）＞0并且f（2）＜0，
解得：-4＜k＜0．
所以實(shí)數(shù)a的取值范圍是 （-4，0）．
故選：A．

點(diǎn)評 解決此類問題的關(guān)鍵是熟練掌握利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間與函數(shù)的極值，并且掌握通過函數(shù)零點(diǎn)個數(shù)進(jìn)而判斷極值點(diǎn)與0的大小關(guān)系