Question

18．求解以下兩小題：
（1）91¹⁰⁰除以100的余數(shù)是幾？
（2）若（1+x）⁶（1-2x）⁵=a₀+a₁x+a₂x²+…+a₁₁x¹¹．求：
（i）a₁+a₂+a₃+…+a₁₁；
（ii）a₀+a₂+a₄+…+a₁₀．

Answer 1

分析 （1）利用二項(xiàng)式定理展開(kāi)即可得到答案．
（2）利用賦值法，令x=0，可得a₀．令x=1和x=-1，可得a₁+a₂+a₃+…a₁₁和a₀+a₂+a₄+…+a₁₀的值，即可求出：a₁+a₂+a₃+…a₁₁，a₀+a₂+a₄+…+a₁₀．

解答 解：（1）由91¹⁰⁰ =（90+1）¹⁰⁰=${C}_{100}^{0}$•90¹⁰⁰+${C}_{100}^{1}$•90⁹⁹+${C}_{100}^{2}$•90⁹⁸+…+${C}_{100}^{99}$•90+${C}_{100}^{100}$•（90）⁰
∵除了${C}_{100}^{99}$•90+${C}_{100}^{100}$•（90）⁰以外，其他項(xiàng)都能被100整除．
∴9001÷100可得余數(shù)為1．
故得91¹⁰⁰除以100的余數(shù)是1．
（2）令x=0，可得：a₀=1．
令x=1，可得：a₀+a₁+a₂+a₃+…+a₁₁=-2⁶，可得a₁+a₂+a₃+…+a₁₁=-65．
令x=-1，可得：a₀-a₁+a₂-a₃+…-a₁₁=0，相加可得a₀+a₂+a₄+…+a₁₀=-32．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了二項(xiàng)式定理的應(yīng)用、方程思想方法、整除的性質(zhì)，考查了推理能力與計(jì)算能力，屬于中檔題．