Question

【題目】設(shè)橢圓中心在坐標(biāo)原點，焦點在x軸上，一個頂點坐標(biāo)為（2，0），離心率為 ．
（1）求這個橢圓的方程；
（2）若這個橢圓左焦點為F1 ， 右焦點為F2 ， 過F1且斜率為1的直線交橢圓于A、B兩點，求△ABF2的面積．

Answer 1

【答案】
（1）解：設(shè)橢圓的方程為 ，

由題意，a=2， = ，∴c= ，b=1，

∴橢圓的方程為

（2）解：左焦點F1（﹣ ，0），右焦點F2（ ，0），設(shè)A（x1，y1 ），

B（x2，y2），

則直線AB的方程為 y=x+ ．

由 ，消x得 5y2﹣2 y﹣1=0．∴y1+y2= ，y1y2=﹣ ，

∴|y1﹣y2|= = ．

∴S△ABF2= + = +

= = = ．

【解析】（1）設(shè)橢圓的方程為 ，有條件求得a 和c，從而求得b，進(jìn)而得到橢圓的方程．（2）把直線AB的方程 代入橢圓的方程化簡，利用根與系數(shù)的關(guān)系，求出|y1﹣y2|的值，利用S△ABF2= + = + 求得結(jié)果．
【考點精析】通過靈活運用橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程，掌握橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程焦點在x軸：，焦點在y軸：即可以解答此題．