Question

【題目】已知函數(shù)f（x）=x﹣1+ （a∈R，e為自然對數(shù)的底數(shù)）．
（Ⅰ）若曲線y=f（x）在點（1，f（1））處的切線平行于x軸，求a的值；
（Ⅱ）求函數(shù)f（x）的極值；
（Ⅲ）當(dāng)a=1的值時，若直線l：y=kx﹣1與曲線y=f（x）沒有公共點，求k的最大值．

Answer 1

【答案】解：（Ⅰ）由f（x）=x﹣1+ ，得f′（x）=1﹣ ， 又曲線y=f（x）在點（1，f（1））處的切線平行于x軸，
∴f′（1）=0，即1﹣ =0，解得a=e．
（Ⅱ）f′（x）=1﹣ ，
①當(dāng)a≤0時，f′（x）＞0，f（x）為（﹣∞，+∞）上的增函數(shù)，所以f（x）無極值；
②當(dāng)a＞0時，令f′（x）=0，得ex=a，x=lna，
x∈（﹣∞，lna），f′（x）＜0；x∈（lna，+∞），f′（x）＞0；
∴f（x）在∈（﹣∞，lna）上單調(diào)遞減，在（lna，+∞）上單調(diào)遞增，
故f（x）在x=lna處取到極小值，且極小值為f（lna）=lna，無極大值．
綜上，當(dāng)a≤0時，f（x）無極值；當(dāng)a＞0時，f（x）在x=lna處取到極小值lna，無極大值．
（Ⅲ）當(dāng)a=1時，f（x）=x﹣1+ ，令g（x）=f（x）﹣（kx﹣1）=（1﹣k）x+ ，
則直線l：y=kx﹣1與曲線y=f（x）沒有公共點，
等價于方程g（x）=0在R上沒有實數(shù)解．
假設(shè)k＞1，此時g（0）=1＞0，g（ ）=﹣1+ ＜0，
又函數(shù)g（x）的圖象連續(xù)不斷，由零點存在定理可知g（x）=0在R上至少有一解，
與“方程g（x）=0在R上沒有實數(shù)解”矛盾，故k≤1．
又k=1時，g（x）= ＞0，知方程g（x）=0在R上沒有實數(shù)解，
所以k的最大值為1．
【解析】（Ⅰ）依題意，f′（1）=0，從而可求得a的值；（Ⅱ）f′（x）=1﹣ ，分①a≤0時②a＞0討論，可知f（x）在∈（﹣∞，lna）上單調(diào)遞減，在（lna，+∞）上單調(diào)遞增，從而可求其極值；（Ⅲ）令g（x）=f（x）﹣（kx﹣1）=（1﹣k）x+ ，則直線l：y=kx﹣1與曲線y=f（x）沒有公共點方程g（x）=0在R上沒有實數(shù)解，分k＞1與k≤1討論即可得答案．
【考點精析】本題主要考查了函數(shù)的極值與導(dǎo)數(shù)的相關(guān)知識點，需要掌握求函數(shù)的極值的方法是:（1）如果在附近的左側(cè),右側(cè),那么是極大值（2）如果在附近的左側(cè),右側(cè),那么是極小值才能正確解答此題．