Question

已知函數(shù)f（x）=lg[（a²-1）x²+（a+1）x+1]，設(shè)命題p：“f（x）的定義域為R”；命題q：“f（x）的值域為R”．
（Ⅰ）分別求命題p、q為真命題時實數(shù)a的取值范圍；
（Ⅱ）￢p是q的什么條件？請說明理由．

Answer 1

考點：必要條件、充分條件與充要條件的判斷,命題的真假判斷與應(yīng)用

專題：推理和證明

分析：首先將命題P：“f（x）的定義域為R”化簡，在將命題q：“f（x）的值域為R”化簡．然后根據(jù)命題之間的關(guān)系判斷即可．

解答： 解：（Ⅰ）命題p為真?f（x）的定義域是R?（a²-1）x²+（a+1）x+1＞0恒成立，
?a=-1或

a2-1＞0 △=(a+1)2-4(a2-1)＜0.

?a=-1或

a＜-1或a＞1 a＜-1或a＞ 5 3

解得a≤-1或a＞

5

3

．∴實數(shù)a的取值范圍為（-∞，-1]∪(

5

3

∪（

5

3

+∞）．
命題q為真?f（x）的值域是R?于u=（a²-1）x²+（a+1）x+1的值域?（0，+∞），
?a=-1或

a2-1＞0 △=(a+1)2-4(a2-1)≥0.

?a=-1或

a＜-1或a＞1 -1≤a≤ 5 3

解得1≤a≤

5

3

．∴實數(shù)a的取值范圍為[1，

5

3

]
（Ⅱ）由（Ⅰ）知，?p?a∈(-1 ， 

5

3

]；q?a∈[1 ， 

5

3

]．
而（-1，

5

3

]?[-1，

5

3

]，∴?p是q的充分而不必要的條件

點評：本題考查命題之間的關(guān)系，正確地求P與Q是解題關(guān)鍵．