Question

20．（1）已知$f（\frac{1}{x}）=\frac{x}{{1-{x^2}}}$，求函數(shù)f（x）的解析式．
（2）已知二次函數(shù)f（x）滿足f（0）=2，f（x+1）-f（x）=2x-1對任意實數(shù)x都成立，求函數(shù)f（x）的解析式．

Answer 1

分析 （1）利用換元法求解函數(shù)f（x）的解析式．
（2）利用待定系數(shù)法求解函數(shù)f（x）的解析式．

解答 解：（1）已知$f（\frac{1}{x}）=\frac{x}{{1-{x^2}}}$，
令$\frac{1}{x}=t，（t≠0）$
則x=$\frac{1}{t}$，
那么有g（t）=$\frac{\frac{1}{t}}{1-（\frac{1}{t}）^{2}}$=$\frac{t}{{t}^{2}-1}$
∴函數(shù)f（x）的解析式．f（x）=$\frac{1}{{x}^{2}-1}，（x≠0）$
（2）由題意，f（x）是二次函數(shù)，設f（x）=ax²+bx+c，（a≠0）
∵f（0）=2，
∴C=2，
則f（x）=ax²+bx+2．
那么：f（x+1）-f（x）=a（x+1）²+b（x+1）+c-ax²-bx-c=2ax+a+b
∵2x-1=2ax+a+b，
即2a=2，a+b=-1，
解得：a=1，b=-2
∴函數(shù)f（x）的解析式為f（x）=x²-2x+2．

點評 本題考查了函數(shù)解析式的求法，利用了換元法和待定系數(shù)法求解．屬于基礎題．