Question

已知|

a

|=1，|

b

|=2，

a

，

b

的夾角為

π

3

，試求：
（1）

a

+

b

與

a

-

b

夾角的余弦值．
（2）使向量

a

+λ

b

與λ

a

-

b

的夾角為鈍角時，λ的取值范圍．

Answer 1

分析：（1）由向量數(shù)量積公式，算出

a

•

b

=1，從而得到|

a

+

b

|=

7

，|

a

-

b

|=

3

．最后用向量的夾角公式，即可得到

a

+

b

與

a

-

b

夾角的余弦值．
（2）根據(jù)題意，得向量

a

+λ

b

與λ

a

-

b

的數(shù)量積為負數(shù)，因此計算

a

+λ

b

與λ

a

-

b

的數(shù)量積并代入題中的數(shù)據(jù)，得到關(guān)于λ的一元二次不等式，解之即可得到實數(shù)λ的取值范圍．

解答：解：∵|

a

|=1，|

b

|=2，

a

、

b

的夾角為

π

3

，
∴

a

•

b

=|

a

|×|

b

|cos

π

3

=1
（1）∵（

a

+

b

）²=

a

2+2

a

•

b

+

b

2=1+2×1+4=7，（

a

-

b

）²=

a

2-2

a

•

b

+

b

2=1-2×1+4=3，
∴|

a

+

b

|=

7

，|

a

-

b

|=

3

設(shè)

a

+

b

與

a

-

b

的夾角為α，則
cosα=

( a + b )( a - b )

| a + b |•| a - b |

=

1-4

7 × 3

=-

21

7

，
即

a

+

b

與

a

-

b

夾角的余弦值等于-

21

7

（2）根據(jù)題意，不存在λ值，使向量

a

+λ

b

與λ

a

-

b

的夾角為π，
∴向量

a

+λ

b

與λ

a

-

b

的夾角為鈍角時，可得
（

a

+λ

b

）（λ

a

-

b

）＜0，即λ

a

2+（λ²-1）

a

•

b

-λ

b

2＜0
將|

a

|=1，|

b

|=2和

a

•

b

=1代入，可得
λ+（λ²-1）-4λ＜0，整理得λ²-3λ-1＜0
解這個不等式，得

3- 13

2

＜λ＜

3+ 13

2

因此λ的取值范圍是（

3- 13

2

，

3+ 13

2

）．

點評：本題給出兩個向量的模與夾角，求它們和向量與差向量夾角的大小，并討論向量夾角為鈍角的問題，著重考查了平面向量的數(shù)量積及其運算性質(zhì)等知識，屬于基礎(chǔ)題．