Question

已知{a_n}為等差數(shù)列，0＜d＜1，a₅≠

kπ

2

，sin²a₃+2sina₅cosa₅=sin²a₇，S_n為數(shù)列{a_n}的前n項和，若S_n≥S₁₀對一切n∈N^*都成立，則首項a₁的取值范圍是（　�。�

• A、[-

  9

  8

  π，-π）
• B、[-

  9

  8

  π，-π]
• C、（-

  5

  4

  π，-

  9

  8

  π）
• D、[-

  5

  4

  π，-

  9

  8

  π]

Answer 1

考點：數(shù)列與三角函數(shù)的綜合

專題：綜合題,等差數(shù)列與等比數(shù)列,三角函數(shù)的求值

分析：先確定d=

π

8

，可得S_n=

π

16

n2+(a1-

π

16

)n，對稱軸n=

1

2

(1-

16a1

π

)，利用S_n≥S₁₀對一切n∈N^*都成立，可得9.5≤

1

2

(1-

16a1

π

)≤10.5，即可求出首項a₁的取值范圍．

解答： 解：∵sin²a₃+2sina₅cosa₅=sin²a₇，
∴2sina₅cosa₅=2sin

a3+a7

2

cos

a7-a3

2

•2cos

a3+a7

2

sin

a7-a3

2

，
∴sin4d=1，
∴d=

π

8

，
∴S_n=

π

16

n2+(a1-

π

16

)n．
對稱軸n=

1

2

(1-

16a1

π

)．
∵S_n≥S₁₀對一切n∈N^*都成立，
∴9.5≤

1

2

(1-

16a1

π

)≤10.5，
∴-

5

4

π≤a₁≤-

9

8

π．
故選：D．

點評：熟練掌握等差數(shù)列的前n項和公式和配方法、二次函數(shù)的單調(diào)性是解題的關鍵．