Question

13．函數(shù)f（x）=$\left\{\begin{array}{l}{1-{x}^{2}，x≤1}\\{lnx，x＞1}\end{array}\right.$，若方程f（x）-kx+$\frac{2}{3}$=0恰有四個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根，則實(shí)數(shù)k的取值范圍是（$\frac{2}{3}$，$\frac{\root{3}{{e}^{2}}}{e}$）．

Answer 1

分析 設(shè)g（x）=kx-$\frac{2}{3}$，則g（x）過點(diǎn)（0，-$\frac{2}{3}$），作出兩個(gè)函數(shù)的圖象，利用數(shù)形結(jié)合進(jìn)行求解即可得到答案．

解答 解：設(shè)g（x）=kx-$\frac{2}{3}$，則g（x）過點(diǎn)（0，-$\frac{2}{3}$），
過點(diǎn)（1，0）和（0，-$\frac{2}{3}$）的直線的斜率k=$\frac{2}{3}$，此時(shí)函數(shù)f（x）與g（x）只有3個(gè)交點(diǎn)，

過點(diǎn)（0，-$\frac{2}{3}$）的直線與f（x）相切時(shí)，函數(shù)f（x）與g（x）只有3個(gè)交點(diǎn)，
設(shè)切點(diǎn)為（a，lna），則函數(shù)的導(dǎo)數(shù)f′（x）=$\frac{1}{x}$，
即切線斜率k=$\frac{1}{a}$，
則切線方程為y-lna=$\frac{1}{a}$（x-a）=$\frac{1}{a}$x-1，
即y=$\frac{1}{a}$x+lna-1，
∵y=kx-$\frac{2}{3}$，
∴l(xiāng)na-1=-$\frac{2}{3}$，得lna=$\frac{1}{3}$，a=$\root{3}{e}$，
此時(shí)k=$\frac{1}{a}$=$\frac{1}{\root{3}{e}}$=$\frac{\root{3}{{e}^{2}}}{e}$，
故要使程f（x）=kx-$\frac{2}{3}$恰有四個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根，
則$\frac{2}{3}$＜k＜$\frac{\root{3}{{e}^{2}}}{e}$，
故答案為：（$\frac{2}{3}$，$\frac{\root{3}{{e}^{2}}}{e}$）

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查函數(shù)與方程的應(yīng)用，利用條件轉(zhuǎn)化為兩個(gè)函數(shù)的交點(diǎn)問題，利用直線和曲線相切求出切線斜率以及利用數(shù)形結(jié)合是解決本題的關(guān)鍵．