Question

12．若函數(shù)$f（x）=\left\{\begin{array}{l}{x^2}+\frac{2}{x}，x＞0\\ a{x^2}+\frac{x}，x＜0\end{array}\right.$是奇函數(shù)，則f（a-b）=-$\frac{29}{3}$．

Answer 1

分析 根據(jù)題意，設(shè)x＞0，則-x＜0，由函數(shù)的解析式可得f（x）與f（-x），由函數(shù)的奇偶性可得-（x²+$\frac{2}{x}$）=ax²-$\frac{x}$，分析可得a、b的值，即可得a-b的值，將a-b的值代入解析式計(jì)算可得答案．

解答 解：根據(jù)題意，函數(shù)$f（x）=\left\{\begin{array}{l}{x^2}+\frac{2}{x}，x＞0\\ a{x^2}+\frac{x}，x＜0\end{array}\right.$，
設(shè)x＞0，則-x＜0，
則有f（x）=x²+$\frac{2}{x}$，f（-x）=a（-x）²+$\frac{（-x）}$=ax²-$\frac{x}$，
又由函數(shù)f（x）為奇函數(shù)，
則有-（x²+$\frac{2}{x}$）=ax²-$\frac{x}$，
分析可得a=-1，b=2，
則a-b=-3，
則f（a-b）=f（-3）=-f（3）=-（3²+$\frac{2}{3}$）=-$\frac{29}{3}$；
故答案為：-$\frac{29}{3}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查函數(shù)的奇偶性的性質(zhì)，關(guān)鍵是利用奇偶性求出a、b的值．