Question

6．已知tan（α-β）=$\frac{1}{2}$，tanβ=-$\frac{1}{7}$，且α，β∈（0，π），則2α-β的大小為-$\frac{3π}{4}$．

Answer 1

分析 由已知條件和正切公式可得所求角的正切值，縮小角的范圍可得．

解答 解：由于tanα=tan[（α-β）+β]=$\frac{tan（α-β）+tanβ}{1-tan（α-β）•tanβ}$=$\frac{\frac{1}{2}-\frac{1}{7}}{1+\frac{1}{2}×\frac{1}{7}}$=$\frac{1}{3}$，且α∈（0，π），
所以α∈（0，$\frac{π}{4}$）
又由tanβ=-$\frac{1}{7}$，且β∈（0，π），
得β∈（-$\frac{π}{2}$，π），所以2α-β∈（-π，0）．
而tan（2α-β）=tan[（α-β）+α]=$\frac{\frac{1}{2}+\frac{1}{3}}{1-\frac{1}{2}×\frac{1}{3}}$=1，
所以2α-β=-$\frac{3}{4}$π

點評 本題考查兩角和與差的正切公式，縮小角的范圍是解決問題的關鍵，屬中檔題．