Question

已知命題p：?x∈R，x²+2x+m-5＜0，命題q：?k∈R，直線kx-y+k+1=0與橢圓

x2

4

+

y2

m

=1有公共點．若命題“p 且q”為真命題，求實數(shù)m 的取值范圍．

Answer 1

考點：復(fù)合命題的真假

專題：簡易邏輯

分析：若命題p為真，則m＜-（x-1）²+6，利用二次函數(shù)的單調(diào)性可得m＜6．
若命題q為真，由于直線kx-y+k+1=0過定點（-1，1），直線kx-y+k+1=0與橢圓

x2

4

+

y2

m

=1有公共點，可得點（-1，1）在橢圓內(nèi)或在橢圓上，解出即可．由于命題“p 且q”為真命題，可得p與q為真命題，即可得出．

解答： 解：若命題p為真，則m＜-（x-1）²+6，∴m＜6．
若命題q為真，∵直線kx-y+k+1=0過定點（-1，1），直線kx-y+k+1=0與橢圓

x2

4

+

y2

m

=1有公共點，
∴點（-1，1）在橢圓內(nèi)或在橢圓上，∴

m＞0，m≠4 1 4 + 1 m ≤1

，解得m≥

4

3

，且m≠4．
∵命題“p 且q”為真命題，
∴p與q為真命題，
∴m的取值范圍為m∈[

4

3

，4)∪(4，6)．

點評：本題考查了二次函數(shù)的單調(diào)性、直線與橢圓的相交問題、簡易邏輯的判定，考查了推理能力與計算能力，屬于中檔題．