17.在四邊形ABCD中,∠BAD=120°,∠BCD=60°,cosD=-$\frac{1}{7}$,AD=DC=2.
(Ⅰ)求cos∠DAC及AC的長(zhǎng);
(Ⅱ)求BC的長(zhǎng).

分析 (1)△ACD中,由余弦定理可得:AC2=${2}^{2}×2-2×{2}^{2}×(-\frac{1}{7})$=$\frac{64}{7}$,解得AC.可得cos∠DAC=$\frac{\frac{1}{2}AC}{AD}$.
(2)設(shè)∠DAC=α=∠DCA.由(1)可得:cosα=$\frac{2\sqrt{7}}{7}$,sinα=$\frac{\sqrt{21}}{7}$.可得sin∠BAC=sin(120°-α).sinB=sin(∠BAC+∠BCA)=sin(180°-2α)=sin2α.在△BAC中,由正弦定理可得:$\frac{BC}{sin∠BAC}$=$\frac{AC}{sinB}$.即可得出.

解答 解:(1)△ACD中,由余弦定理可得:AC2=${2}^{2}×2-2×{2}^{2}×(-\frac{1}{7})$=$\frac{64}{7}$,解得AC=$\frac{8\sqrt{7}}{7}$.
∴cos∠DAC=$\frac{\frac{1}{2}AC}{AD}$=$\frac{\frac{1}{2}×\frac{8\sqrt{7}}{7}}{2}$=$\frac{2\sqrt{7}}{7}$.
(2)設(shè)∠DAC=α=∠DCA.
由(1)可得:cosα=$\frac{2\sqrt{7}}{7}$,sinα=$\frac{\sqrt{21}}{7}$.
∴sin∠BAC=sin(120°-α)=$\frac{\sqrt{3}}{2}$×$\frac{2\sqrt{7}}{7}$+$\frac{1}{2}×\frac{\sqrt{21}}{7}$=$\frac{3\sqrt{21}}{14}$.
∴sinB=sin(∠BAC+∠BCA)=sin(180°-2α)=sin2α=2×$\frac{2\sqrt{7}}{7}$×$\frac{\sqrt{21}}{7}$=$\frac{4\sqrt{3}}{7}$.
在△BAC中,由正弦定理可得:$\frac{BC}{sin∠BAC}$=$\frac{AC}{sinB}$.
∴BC=$\frac{\frac{8\sqrt{7}}{7}×\frac{3\sqrt{21}}{14}}{\frac{4\sqrt{3}}{7}}$=3.

點(diǎn)評(píng) 本題考查了正弦定理余弦定理、和差公式、三角形內(nèi)角和定理、誘導(dǎo)公式、等腰三角形的性質(zhì),考查了推理能力與計(jì)算能力,屬于中檔題.

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A.有極大值,無(wú)極小值B.有極小值,無(wú)極大值
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