Question

對(duì)于具有相同定義域D的函數(shù)f（x）和g（x），若存在x∈D，使得|f（x）-g（x）|＜1，則f（x）和g（x）在D上是“親密函數(shù)”．給出定義域均為D=（0，1）的四組函數(shù)如下：
①f（x）=lnx-1，g（x）=

2(x-1)

x+1

   ②f（x）=x³，g（x）=3x-1
③f（x）=e^x-2x，g（x）=-x      ④f（x）=

2

3

x-

5

8

，g（x）=

x

其中，函數(shù)f（x）和g（x）在D上是“親密函數(shù)”的是

 

．

Answer 1

分析：分析：根據(jù)新定義，構(gòu)造新函數(shù)h（x）=f（x）-g（x），利用導(dǎo)數(shù)的方法確定函數(shù)的單調(diào)性，從而確定函數(shù)的值域，利用若對(duì)任意的x∈D，都有|f（x）-g（x）|＜1，則稱(chēng)f（x）和g（x）在D上是“親密函數(shù)”，即可得到結(jié)論

解答：解：①設(shè)h（x）=f（x）-g（x）=lnx-1-

2(x-1)

x+1

，
∴h'（x）=

1

x

-

4

(x+1)2

=

(x-1)2

x(x+1)2

∵0＜x＜1，∴h'（x）＞0，
即h（x）在（0，1]上單調(diào)增，
∵h(yuǎn)（1）=-1，∴h（x）＜-1，
∴對(duì)任意的x∈D，都有|f（x）-g（x）|＞1，
∴函數(shù)f（x）和g（x）在D上不存在“親密函數(shù)”；
②設(shè)h（x）=f（x）-g（x）=x³-3x+1，
∴h′（x）=3x²-3
∵0＜x＜1，
∴h′（x）＜0，函數(shù)單調(diào)遞減．
∵h(yuǎn)（0）=1，h（1）=-1，
∴-1＜h（x）＜1，
即|h（x）|＜1，
即存在x∈D，都有|f（x）-g（x）|＜1．
③設(shè)h（x）=f（x）-g（x）=e^x-x，
∴h′（x）=e^x-1
∵0＜x＜1，∴h′（x）＞0
∴h（x）在[0，1]上單調(diào)增，
∵h(yuǎn)（0）=1，h（1）=e-1＞1
∴不滿(mǎn)足對(duì)任意的x∈D，都有|f（x）-g（x）|＜1．
④設(shè)h（x）=f（x）-g（x）=

2

3

x-

5

8

-

x

當(dāng)x=0時(shí)滿(mǎn)足題意，
當(dāng)x≠0時(shí)，h′（x）=

2

3

-

1

2 x

，
由h'（x）=0得，x=

9

16

，
∵0＜x＜1，
∴當(dāng)x=

9

16

時(shí)，函數(shù)取得極小值，
即h（

9

16

）=

2

3

×

9

16

-

5

8

-

9 16

=

3

8

-

5

8

-

3

4

=-1．
∴存在x∈D，都有|f（x）-g（x）|＜1，
∴函數(shù)f（x）和g（x）在D上為“親密函數(shù)”；
故答案為：②④．

點(diǎn)評(píng)：本題是一道新定義題，要理清定義的條件和結(jié)論，將問(wèn)題轉(zhuǎn)化為已知的去解決，主要涉及了函數(shù)的單調(diào)性，函數(shù)的最值求法等．綜合性較強(qiáng)難度較大．