Question

12．函數(shù)f（x）=|x²-a²+$\frac{1}{2}$a|在區(qū)間[-$\sqrt{3}$，$\sqrt{3}$]上的最大值M（a）取最小值時a=-$\frac{3}{2}$或2．

Answer 1

分析 通過分類討論去掉絕對值符號，進而通過函數(shù)f（x）圖象與x軸有兩個交點時，利用對稱性比較交點與區(qū)間端點的位置關(guān)系，進而計算可得函數(shù)M（a）的表達式，然后數(shù)形結(jié)合即得結(jié)論．

解答 解：依題意，函數(shù)f（x）的圖象關(guān)于y軸對稱，

（1）若-a²+$\frac{1}{2}$a≥0即0≤a≤$\frac{1}{2}$時，此時M（a）=f（$\sqrt{3}$）=3-a²+$\frac{1}{2}$a；
（2）若-a²+$\frac{1}{2}$a＜0即a＜0或a＞$\frac{1}{2}$時，
此時函數(shù)f（x）與x軸有兩個交點，其橫坐標為±$\sqrt{{a}^{2}-\frac{1}{2}a}$，
①當(dāng)交點在區(qū)間[-$\sqrt{3}$，$\sqrt{3}$]外時，則$\sqrt{3}$＜$\sqrt{{a}^{2}-\frac{1}{2}a}$，
解得：a＜-$\frac{3}{2}$或a＞2，
此時M（a）=f（0）=a²-$\frac{1}{2}$a；
②當(dāng)交點在區(qū)間[-$\sqrt{3}$，$\sqrt{3}$]內(nèi)時，$\sqrt{3}$≥$\sqrt{{a}^{2}-\frac{1}{2}a}$，
解得：-$\frac{3}{2}$≤a≤2，
故當(dāng)-$\frac{3}{2}$≤a＜0或$\frac{1}{2}$＜a≤2時M（a）為f（0）與f（$\sqrt{3}$）中最大者，
又∵f（$\sqrt{3}$）=3-a²+$\frac{1}{2}$a，f（0）=a²-$\frac{1}{2}$a，
∴方程f（$\sqrt{3}$）=f（0）的解為：a=-1或a=$\frac{3}{2}$，
則當(dāng)-$\frac{3}{2}$≤a＜-1或$\frac{3}{2}$＜a≤2時，M（a）=f（$\sqrt{3}$）=3-a²+$\frac{1}{2}$a

當(dāng)-1≤a＜0或$\frac{1}{2}$＜a≤$\frac{3}{2}$時，M（a）=f（0）=a²-$\frac{1}{2}$a；
綜上所述，M（a）=$\left\{\begin{array}{l}{{a}^{2}-\frac{1}{2}a，}&{a＜-\frac{3}{2}}\\{3-{a}^{2}+\frac{1}{2}a，}&{-\frac{3}{2}≤a＜-1}\\{{a}^{2}-\frac{1}{2}a，}&{-1≤a＜0}\\{3-{a}^{2}+\frac{1}{2}a，}&{0≤a≤\frac{1}{2}}\\{{a}^{2}-\frac{1}{2}a，}&{\frac{1}{2}＜a≤\frac{3}{2}}\\{3-{a}^{2}+\frac{1}{2}a，}&{\frac{3}{2}＜a≤2}\\{{a}^{2}-\frac{1}{2}a，}&{a＞2}\end{array}\right.$，
結(jié)合圖象易知M（a）取最小值時a=-$\frac{3}{2}$或a=2，
故答案為：-$\frac{3}{2}$或2．

點評 本題考查函數(shù)的最值及其幾何意義，考查數(shù)形結(jié)合能力，考查分類討論的思想，注意解題方法的積累，屬于中檔題．