Question

16．在數(shù)列{a_n}中，a₁=1，a_n=2a_n-1+1（n≥2，n∈N₊）．
（I）求a₂，a₃，a₄的值；
（2）猜想數(shù)列{a_n}的通項公式，并用數(shù)學(xué)歸納法來證明．

Answer 1

分析 （Ⅰ）由數(shù)列{a_n}的遞推公式依次求出a₂，a₃，a₄；
（Ⅱ）根據(jù)a₁，a₂，a₃，a₄值的結(jié)構(gòu)特點猜想{a_n}的通項公式，再用數(shù)學(xué)歸納法①驗證n=1成立，②假設(shè)n=k時命題成立，證明當(dāng)n=k+1時命題也成立

解答 解：（Ⅰ）a₁=1，a_n=2a_n-1+1（n≥2，n∈N₊），
∴a₂=2a₁+1=3，
a₃=2a₂+1=7，
a₄=2a₄+1=15，
（Ⅱ）由（Ⅰ）可以猜想a_n=2ⁿ-1，
①當(dāng)n=1時，猜想成立，
②假設(shè)當(dāng)n=k時，猜想成立，即a_k=2^k-1，
那么a_k+1=2a_k+1=2（2^k-1）+1=2^k+1-1，
即當(dāng)n=k+1猜想也成立，
由①②可知，猜想成立，即a_n=2ⁿ-1（n∈N₊）．

點評 本題是中檔題，考查數(shù)列遞推關(guān)系式的應(yīng)用，數(shù)學(xué)歸納法證明數(shù)列問題的方法，考查邏輯推理能力，計算能力．注意在證明n=k+1時用上假設(shè)，化為n=k的形式．