Question

7．已知p：x²-5ax+4a²＜0，其中a＞0，q：3＜x≤4．
（1）若a=1，且p∧q為真，求實(shí)數(shù)x的取值范圍；
（2）若p是q的必要不充分條件，求實(shí)數(shù)a的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）p：x²-5ax+4a²＜0，其中a＞0，解得：a＜x＜4a；由于a=1，p化為：1＜x＜4．利用p∧q為真，求交集即可得出．
（2）p是q的必要不充分條件，可得q⇒p，且p推不出q，設(shè)A=（a，4a），B=（3，4]，則B?A，即可得出．

解答 解：（1）p：x²-5ax+4a²＜0，其中a＞0，解得：a＜x＜4a；q：3＜x≤4．
∵a=1，∴p化為：1＜x＜4．
∵p∧q為真，∴$\left\{\begin{array}{l}{3＜x≤4}\\{1＜x＜4}\end{array}\right.$，解得3＜x≤4，∴實(shí)數(shù)x的取值范圍是（3，4]．
（2）p是q的必要不充分條件，∴q⇒p，且p推不出q，設(shè)A=（a，4a），B=（3，4]，
則B?A，
∴$\left\{\begin{array}{l}{a≤3}\\{4＜4a}\end{array}\right.$，解得1＜a≤3．
∴實(shí)數(shù)a的取值范圍是1＜a≤3．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了不等式的解法、集合的運(yùn)算性質(zhì)、簡易邏輯的應(yīng)用，考查了推理能力與計(jì)算能力，屬于中檔題．