Question

已知a∈R，函數(shù)f（x）=x²|x-a|．
（1）當(dāng)a=2時，求使f（x）=x成立的x的集合；
（2）求函數(shù)y=f（x）在區(qū)間[1，2]上的最小值．

Answer 1

【答案】分析：（Ⅰ）把a(bǔ)=2代入函數(shù)解析式，根據(jù)絕對值的符號分為兩種情況，即x＜2和x≥2分別求解對應(yīng)方程得根，再把所有的根用列舉法表示出來．
（Ⅱ）根據(jù)區(qū)間[1，2]和絕對值內(nèi)的式子進(jìn)行分類討論，即a≤1、1＜a≤2和a≥3三種情況，分別求出解析式和它的導(dǎo)函數(shù)，利用導(dǎo)函數(shù)的符號判斷在閉區(qū)間上的單調(diào)性，再求最小值；當(dāng)a≥3時最小值可能取在區(qū)間的兩端，再通過作差和分類進(jìn)行比較兩個函數(shù)值的大小，最后用分段函數(shù)表示函數(shù)的最小值．
解答：解：（Ⅰ）由題意，f（x）=x²|x-2|
當(dāng)x＜2時，由f（x）=x²（2-x）=x，解得x=0或x=1；
當(dāng)x≥2時，由f（x）=x²（x-2）=x，解得x=1+．
綜上，所求解集為{0，1，1+}
（Ⅱ）設(shè)此最小值為m．
①當(dāng)a≤1時，在區(qū)間[1，2]上，f（x）=x³-ax²，
∵f′（x）=3x²-2ax=3x（x-a）＞0，x∈（1，2），
則f（x）是區(qū)間[1，2]上的增函數(shù)，∴m=f（1）=1-a．
②當(dāng)1＜a≤2時，在區(qū)間[1，2]上，f（x）=x²|x-a|≥0，由f（a）=0知m=f（a）=0．
③當(dāng)a＞2時，在區(qū)間[1，2]上，f（x）=ax²-x³
f′（x）=2ax-3x²=3x（a-x）．
若a≥3，在區(qū)間（1，2）上，f'（x）＞0，則f（x）是區(qū)間[1，2]上的增函數(shù)，
∴m=f（1）=a-1．
若2＜a＜3，則1＜a＜2．
當(dāng)1＜x＜a時，f'（x）＞0，則f（x）是區(qū)間[1，a]上的增函數(shù)，
當(dāng)a＜x＜2時，f'（x）＜0，則f（x）是區(qū)間[a，2]上的減函數(shù)，
因此當(dāng)2＜a＜3時，故m=f（1）=a-1或m=f（2）=4（a-2）．
當(dāng)2＜a≤時，4（a-2）≤a-1，故m=f（2）=4（a-2），
當(dāng)＜a＜3時，4（a-2）＜a-1，故m=f（1）=a-1．
總上所述，所求函數(shù)的最小值m=．
點(diǎn)評：本題主要用了分類討論的思想解決含有參數(shù)的函數(shù)求值和求最值問題，分類的標(biāo)準(zhǔn)是絕對值的符號，求閉區(qū)間上的最值時，通常是求函數(shù)的導(dǎo)數(shù)用它的符號判斷函數(shù)在區(qū)間上的單調(diào)性，再求最值，有時需要對端點(diǎn)處的函數(shù)值進(jìn)行作差比較大�。�