Question

命題甲：關(guān)于x的不等式x²+（2a+1）x+a²＞0的解集為R；
命題乙：不等式a+1≤log₂x對任意x∈[1，2]恒成立，分別求出符合下列條件的示數(shù)a的取值范圍．
（1）甲、乙都是真命題；
（2）甲、乙有且只有一個(gè)是真命題．

Answer 1

考點(diǎn)：復(fù)合命題的真假,指、對數(shù)不等式的解法

專題：簡易邏輯

分析：（1）首先，當(dāng)甲為真命題時(shí)，滿足△＜0，得到a＜-

1

4

，當(dāng)乙為真命題時(shí)，得到a≤-1，然后，求解即可；對于（2）則分為甲為真乙為假或甲為假乙為真，兩種情形進(jìn)行討論完成．

解答： 解：若甲為真命題，則△＜0，
即（2a+1）²-4a²＜0，
解得a＜-

1

4

，
若乙為真命題，則
a+1≤（log₂x）_min=log₂1=0，
∴a≤-1，
（1）∵甲、乙都是真命題，
∴

a＜- 1 4 a≤-1

，
∴a≤-1，
∴實(shí)數(shù)a的取值范圍為（-∞，-1]．
（2）∵甲、乙有且只有一個(gè)是真命題，
∴甲為真乙為假或甲為假乙為真，
則

a＜- 1 4 a＞-1

 或

a≥- 1 4 a≤-1

，
∴-1＜a＜-

1

4

，
∴實(shí)數(shù)a的取值范圍為（-1，-

1

4

）．

點(diǎn)評：本題重點(diǎn)考查了一元二次不等式的解法、不等式恒成立問題、命題的真假等知識點(diǎn)，屬于中檔題．