Question

1．設(shè)函數(shù)f（x）=x²e^x
（Ⅰ）求f（x）的單調(diào)區(qū)間；
（Ⅱ）若x∈[-2，2]時，不等式f（x）＜m恒成立，求m的取值范圍．

Answer 1

分析 （Ⅰ）先求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，通過解關(guān)于導(dǎo)函數(shù)的不等式，求出其單調(diào)區(qū)間即可；
（Ⅱ）先求出f（x）在[-1，2]上的單調(diào)性，從而求出函數(shù)的最大值，即可求m的取值范圍．

解答 解：（Ⅰ）f′（x）=x（x+2）e^x，
令f′（x）＞0，解得：x＜-2或x＞0，
令f′（x）＜0，解得：-2＜x＜0，
∴函數(shù)f（x）的單調(diào)遞增區(qū)間為（-∞，-2）和（0，+∞），遞減區(qū)間為[-2，0]．…（6分）
（Ⅱ）

x	-2	（-2，0）	0	（0，2）	2
f′（x）			0	+
f（x）	$\frac{4}{{e}^{2}}$	單減	極小值0	單增	4e2

…（10分）
因此x∈[-2，2]，f（x）的最大值是4e²，
∵x∈[-2，2]時，不等式f（x）＜m恒成立，
∴m＞4e²…（12分）

點評 本題考查了函數(shù)的單調(diào)性、最值問題，考查導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用，考查恒成立問題，是一道中檔題．