Question

12．經(jīng)過橢圓E：$\frac{{x}^{2}}{4}$+$\frac{{y}^{2}}{3}$=1的右焦點(diǎn)F作直線l，交橢圓E于A，B兩點(diǎn)．如果F恰好是線段AB的三等分點(diǎn)，求直線l的方程．

Answer 1

分析 由題意方程求出F坐標(biāo)，設(shè)出直線方程與A，B的坐標(biāo)，聯(lián)立后化為關(guān)于y的一元二次方程，由F恰好是線段AB的三等分點(diǎn)可得方程兩根的關(guān)系，列式求解得答案．

解答 解：如圖，
由橢圓E：$\frac{{x}^{2}}{4}$+$\frac{{y}^{2}}{3}$=1，得c²=a²-b²=4-3=1，
∴F（1，0）．
設(shè)A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），
不妨設(shè)F靠近A，則由F恰好是線段AB的三等分點(diǎn)，得$\frac{|BF|}{|FA|}=2$，
∴y₂=-2y₁，
設(shè)AB所在直線方程為x=ty+1．
聯(lián)立$\left\{\begin{array}{l}{x=ty+1}\\{\frac{{x}^{2}}{4}+\frac{{y}^{2}}{3}=1}\end{array}\right.$，得（3t²+4）y²+6ty-9=0．
解得${y}_{1}=\frac{-3t+6\sqrt{{t}^{2}+1}}{3{t}^{2}+4}$，${y}_{2}=\frac{-3t-6\sqrt{{t}^{2}+1}}{3{t}^{2}+4}$，
由y₂=-2y₁，得$2\sqrt{{t}^{2}+1}=3t$，解得t=$±\frac{2\sqrt{5}}{5}$，此時(shí)取t=$\frac{2\sqrt{5}}{5}$．
得直線l的方程為$x=\frac{2\sqrt{5}}{5}y+1$，即$\sqrt{5}x-2y-\sqrt{5}=0$．
由對稱性可知，另一直線方程為$\sqrt{5}x+2y-\sqrt{5}=0$．

點(diǎn)評 本題考查橢圓的簡單性質(zhì)，考查直線與橢圓位置關(guān)系的應(yīng)用，考查計(jì)算能力，是中檔題．