Question

1．垂直于直線x+y=0的直線l交橢圓$\frac{{x}^{2}}{1}$+$\frac{{y}^{2}}{4}$=1于M、N，且|MN|=2，求直線的方程．

Answer 1

分析 由條件可設直線l的方程為y=x+b，帶入橢圓方程便可得到5x²+2bx+b²-4=0，可設M（x₁，y₁），N（x₂，y₂），從而有${x}_{1}+{x}_{2}=-\frac{2b}{5}，{x}_{1}{x}_{2}=\frac{^{2}-4}{5}$，根據弦長公式便可得到$|MN|=\frac{4\sqrt{2}}{5}•\sqrt{5-^{2}}=2$，解出b值，從而便可得出直線l的方程．

解答 解：根據條件設l的方程為：y=x+b，帶入橢圓的方程并整理得：
5x²+2bx+b²-4=0；
設M（x₁，y₁），N（x₂，y₂），則：${x}_{1}+{x}_{2}=-\frac{2b}{5}，{x}_{1}{x}_{2}=\frac{^{2}-4}{5}$；
∴$|MN|=\sqrt{2}•\sqrt{（{x}_{1}+{x}_{2}）^{2}-4{x}_{1}{x}_{2}}$=$\sqrt{2}•\sqrt{\frac{4^{2}}{25}-\frac{4（^{2}-4）}{5}}$=$\frac{4\sqrt{2}}{5}•\sqrt{5-^{2}}=2$；
∴解得$b=±\frac{\sqrt{30}}{4}$；
∴直線l的方程為$y=x+\frac{\sqrt{30}}{4}$，或$y=x-\frac{\sqrt{30}}{4}$．

點評 考查直線垂直時斜率的關系，直線的斜截式方程，橢圓的標準方程，以及韋達定理，弦長公式．