Question

9．如圖，三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，CC₁⊥平面ABC，∠ACB=90°，BB₁=3，AC=BC=2，D，E分別為AB，BC的中點(diǎn)，F(xiàn)為BB₁上一點(diǎn)，且$\frac{BF}{F{B}_{1}}$=$\frac{2}{7}$．
（1）求證：平面CDF⊥平面A₁C₁E；
（2）求二面角C₁-CD-F的余弦值．

Answer 1

分析 （1）以C為原點(diǎn)，分別以CA、CB、CC₁所在直線為x、y、z軸正半軸建立空間直角坐標(biāo)系，再由已知求出C，D，F(xiàn)，E，A₁，C₁的坐標(biāo)，得到平面CDF與平面A₁C₁E的一個(gè)法向量，由兩法向量垂直可得平面CDF⊥平面A₁C₁E；
（2）由（1）知，平面CDF的一個(gè)法向量$\overrightarrow{m}=（1，-1，3）$，又平面C₁CD的一個(gè)法向量$\overrightarrow{t}=（-1，1，0）$，由兩法向量所成角的余弦值求得二面角C₁-CD-F的大�。�

解答 （1）證明：以C為原點(diǎn)，分別以CA、CB、CC₁所在直線為x、y、z軸正半軸建立空間直角坐標(biāo)系，
∵BB₁=3，AC=BC=2，D，E分別為AB，BC的中點(diǎn)，$\frac{BF}{F{B}_{1}}$=$\frac{2}{7}$．
∴C（0，0，0），D（1，1，0），F(xiàn)（0，2，$\frac{2}{3}$），E（0，1，0），A₁（2，0，3），C₁（0，0，3）．
$\overrightarrow{CD}=（1，1，0）$，$\overrightarrow{CF}=（0，2，\frac{2}{3}）$，$\overrightarrow{E{A}_{1}}=（2，-1，3），\overrightarrow{E{C}_{1}}=（0，-1，3）$．
設(shè)平面CDF的一個(gè)法向量為$\overrightarrow{m}=（x，y，z）$，
則$\left\{\begin{array}{l}{\overrightarrow{m}•\overrightarrow{CD}=x+y=0}\\{\overrightarrow{m}•\overrightarrow{CF}=2y+\frac{2}{3}z=0}\end{array}\right.$，取y=-1，得$\overrightarrow{m}=（1，-1，3）$；
再平面A₁C₁E的一個(gè)法向量為$\overrightarrow{n}=（x，y，z）$，
則$\left\{\begin{array}{l}{\overrightarrow{n}•\overrightarrow{E{A}_{1}}=2x-y+3z=0}\\{\overrightarrow{n}•\overrightarrow{E{C}_{1}}=-y+3z=0}\end{array}\right.$，取z=1，得$\overrightarrow{n}=（0，3，1）$．
∵$\overrightarrow{m}•\overrightarrow{n}=1×0-1×3+3×1=0$，
∴$\overrightarrow{m}⊥\overrightarrow{n}$，則平面CDF⊥平面A₁C₁E；
（2）解：由（1）知，平面CDF的一個(gè)法向量$\overrightarrow{m}=（1，-1，3）$，
又平面C₁CD的一個(gè)法向量$\overrightarrow{t}=（-1，1，0）$，
∴cos＜$\overrightarrow{m}，\overrightarrow{t}$＞=$\frac{\overrightarrow{m}•\overrightarrow{t}}{|\overrightarrow{m}||\overrightarrow{t}|}$=$\frac{-2}{\sqrt{11}×\sqrt{2}}=-\frac{\sqrt{22}}{11}$，
∵二面角C₁-CD-F為銳角，
∴二面角C₁-CD-F的余弦值為$\frac{\sqrt{22}}{11}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查平面與平面垂直的判定，考查空間想象能力和思維能力，訓(xùn)練了利用空間向量求二面角的大小，是中檔題．