在棱長為a的正方體ABCD-A1B1C1D1中,E是線段A1C1的中點,AC∩BD=F.
(1)求證:CE⊥BD;
(2)求證:CE∥平面A1BD;
(3)求三棱錐D-A1BC的表面積.

解:(1)證明:根據(jù)正方體的性質(zhì)BD⊥AC,(2分)
因為AA1⊥平面ABCD,BD?平面ABCD,所以BD⊥AA1,
又AC∩AA1=A,
所以BD⊥平面ACC1A1,CE?平面ACC1A1,所以CE⊥BD.(4分)

(2)證明:連接A1F,因為AA1∥BB1∥CC1,AA1=BB1=CC1,
所以ACC1A1為平行四邊形,
因此A1C1∥AC,A1C1=AC,
由于E是線段A1C1的中點,
所以CE∥FA1,(6分)
因為FA1?面A1BD,CE?平面A1BD,
所以CE∥平面A1BD.(8分)

(3)△A1BD是邊長為的正三角形,
其面積為,(9分)
因為BC⊥平面A1B1BA,所以BC⊥A1B,
所以△A1BC是直角三角形,其面積為
同理△A1CD的面積為,(12分)
△BCD面積為.(13分)
所以三棱錐D-A1BC的表面積為.(14分)
分析:(1)欲證CE⊥BD,而CE?平面ACC1A1,可先證BD⊥平面ACC1A1,根據(jù)直線與平面垂直的判定定理可知只需證BD與平面ACC1A1內(nèi)兩相交直線垂直,根據(jù)正方體的性質(zhì)BD⊥AC,AA1⊥平面ABCD,BD?平面ABCD,則BD⊥AA1,又AC∩AA1=A,滿足定理所需條件;
(2)欲證CE∥平面A1BD,根據(jù)直線與平面平行的判定定理可知只需證CE與平面A1BD內(nèi)一直線平行,連接A1F,根據(jù)AA1∥BB1∥CC1
AA1=BB1=CC1,可得ACC1A1為平行四邊形,根據(jù)中位線可知CE∥FA1,F(xiàn)A1?面A1BD,CE?平面A1BD,滿足定理所需條件;
(3)先求出正三角形△A1BD的面積,然后根據(jù)BC⊥平面A1B1BA,則BC⊥A1B,求出直角三角形△A1BC的面積,同理求出△A1CD的面積和△BCD面積,最后將四個面積相加即可.
點評:本小題主要考查直線與平面垂直的性質(zhì),直線與平面平行的判定,以及三棱錐的表面積等基礎(chǔ)知識,考查空間想象能力、運算求解能力、推理論證能力,考查化歸與轉(zhuǎn)化思想,屬于中檔題.
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