Question

如圖，四邊形ABCD是正方形，△PAB與△PAD均是以A為直角頂點的等腰直角三角形，點F是PB的中點，點E是邊BC上的任意一點．
（1）求證：AF⊥EF；
（2）求二面角A-PC-B的平面角的正弦值．

Answer 1

考點：二面角的平面角及求法,空間中直線與直線之間的位置關系

專題：空間位置關系與距離,空間角

分析：（1）由已知得PA⊥AD，PA⊥AB，AB⊥BC，從而PA⊥BC，進而BC⊥面PAB，又AF⊥PB，由此能證明AF⊥EF．
（2）以A為原點，AD為x軸，AB為y軸，P為z軸，建立空間直角坐標系，利用向量法能求出二面角A-PC-B的平面角的正弦值．

解答： （1）證明：∵四邊形ABCD是正方形，△PAB與△PAD均是以A為直角頂點的等腰直角三角形，
∴PA⊥AD，PA⊥AB，又AD∩AB=A，AB⊥BC，
∴PA⊥平面ABCD，又BC?面ABCD，∴PA⊥BC，
∵AB∩PA=A，∴BC⊥面PAB，
∴BC⊥AF，
∵△PAB是以A為直角頂點的等腰直角三角形，F是PB中點，
∴AF⊥PB，
又PB∩BC=B，∴AF⊥平面PBC，
∵EF?平面PBC，∴AF⊥EF．
（2）解：以A為原點，AD為x軸，AB為y軸，P為z軸，
建立空間直角坐標系，
設AB=1，則A（0，0，0），B（0，1，0），C（1，1，0），P（0，0，1），

AP

=（0，0，1），

AC

=（1，1，0），
設平面APC的法向量

n

=（x，y，z），
則

n • AP =z=0 n • AC =x+y=0

，取x=1，得

n

=（1，-1，0），

PB

=（0，1，-1），

PC

=（1，1，-1），
設平面PBC的法向量

m

=（a，b，c），
則

m • PB =b-c=0 m • PC =a+b-c=0

，取b=1，得

m

=（0，1，1），
|cos＜

n

，

m

＞|=|

-1

2 × 2

|=

1

2

，
∴＜

n

，

m

＞=60°，又sin60°=

3

2

，
∴二面角A-PC-B的平面角的正弦值為

3

2

．

點評：本題考查空間線面關系、幾何體的體積等知識，考查數形結合、化歸與轉化的數學思想方法，以及空間想象能力、推理論證能力和運算求解能力．