Question

已知函數(shù)f（x）=a-

2

|x|

．
（1）求證：函數(shù)y=f（x）在（0，+∞）上是增函數(shù)；
（2）解不等式f（x）＞a+x-3．

Answer 1

考點(diǎn)：利用導(dǎo)數(shù)求閉區(qū)間上函數(shù)的最值,利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性

專題：計(jì)算題,函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用

分析：（1）化簡(jiǎn)后利用定義法證明單調(diào)性；
（2）代入f（x）化簡(jiǎn)不等式，注意討論．

解答： 解：（1）證明：當(dāng)x＞0時(shí)，f(x)=a-

2

x

，
任取x₁，x₂∈（0，+∞），且x₁＜x₂，則
f(x1)-f(x2)=

2

x2

-

2

x1

=

2(x1-x2)

x1x2

，
∵x₁＞0，x₂＞0且x₁＜x₂，
∴x₁-x₂＜0，x₁x₂＞0；
∴

2(x1-x2)

x1x2

＜0，
即f（x₁）-f（x₂）＜0；
∴函數(shù)y=f（x）在（0，+∞）上是增函數(shù)．
（2）原不等式等價(jià)于：

2

|x|

+x-3＜0，
①當(dāng)x＞0時(shí)，x²-3x+2＜0，
解得：1＜x＜2；
②當(dāng)x＜0時(shí)，

2

-x

+x-3＜0，
∵x＜0，∴-x＞0，∴2-x²+3x＜0，
解得：x＞

3+ 17

2

或x＜

3- 17

2

，
∴x＜

3- 17

2

．
綜上所述，原不等式的解集為{x|1＜x＜2或x＜

3- 17

2

}．

點(diǎn)評(píng)：考查了單調(diào)性的證明方法，定義法證明分五步，也可以求導(dǎo)證明；同時(shí)考查了不等式的解法，注意為什么要討論．