Question

【題目】已知函數(shù)

(I)若函數(shù)處取得極值，求實(shí)數(shù)的值；并求此時(shí)上的最大值；

(Ⅱ)若函數(shù)不存在零點(diǎn)，求實(shí)數(shù)a的取值范圍；

Answer 1

【答案】（1）最大值為；（2）實(shí)數(shù)的取值范圍是。

【解析】試題分析：（1）根據(jù)函數(shù)的極值的概念得到， ，根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性得到函數(shù)的最值。（2）研究函數(shù)的單調(diào)性，找函數(shù)和軸的交點(diǎn)，使得函數(shù)和軸沒(méi)有交點(diǎn)即可；分和，兩種情況進(jìn)行討論。

解析：

（1）函數(shù)的定義域?yàn)镽， ，

， .

在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，所以時(shí)取極小值.

所以所求實(shí)數(shù)的值為1.

易知在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減；

且 .

當(dāng)時(shí)， 在的最大值為

（2），由于.

①當(dāng)時(shí)， 是增函數(shù)，

且當(dāng)時(shí)， .

當(dāng)時(shí)， ， ，取，

則，所以函數(shù)存在零點(diǎn).

②當(dāng)時(shí)， .

在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，所以時(shí)取最小值.

函數(shù)不存在零點(diǎn)，等價(jià)于，

解得.

綜上所述：所求的實(shí)數(shù)的取值范圍是.