Question

18．已知函數(shù)$f（x）=a{x^2}-2ax+a+\frac{1}{3}$（a＞0），$g（x）=b{x^3}-2b{x^2}+bx-\frac{4}{27}$（b＞1），則函數(shù)y=g（f（x））的零點個數(shù)為4．

Answer 1

分析 先求出函數(shù)y=g（f（x））的導(dǎo)數(shù)，由y′=0，得到函數(shù)y=g（f（x））有三個極值點，從而能求出函數(shù)y=g（f（x））的零點個數(shù)．

解答 解：∵$f（x）=a{x^2}-2ax+a+\frac{1}{3}$（a＞0），$g（x）=b{x^3}-2b{x^2}+bx-\frac{4}{27}$（b＞1），
∴y=g（f（x））=b（$a{x}^{2}-2ax+a+\frac{1}{3}$）³-2b（$a{x}^{2}-2ax+a+\frac{1}{3}$）²+b（$a{x}^{2}-2ax+a+\frac{1}{3}$）-$\frac{4}{27}$，
∴y′=3b（ax²-2ax+a+$\frac{1}{3}$）²（2ax-2a）-4b（$a{x}^{2}-2ax+a+\frac{1}{3}$）（2ax-2a）+b（2ax-2a），
由y′=0，得x₁=1，x₂=1-$\frac{\sqrt{6a}}{3a}$，${x}_{3}=1+\frac{\sqrt{6a}}{3a}$，
∴函數(shù)y=g（f（x））的零點個數(shù)為4個．
故答案為：4．

點評 本題考查函數(shù)的零點個數(shù)的判斷，是基礎(chǔ)題，解題時要認(rèn)真審題，注意導(dǎo)數(shù)性質(zhì)的合理運用．