Question

6．已知函數(shù)$f（x）=\frac{x}{{{x^2}+1}}$，關(guān)于f（x）的性質(zhì)，有以下四個(gè)推斷：
①f（x）的定義域是（-∞，+∞）；       ②f（x）的值域是$[-\frac{1}{2}，\;\frac{1}{2}]$；
③f（x）是奇函數(shù)；                   ④f（x）是區(qū)間（0，2）上的增函數(shù)．
其中推斷正確的個(gè)數(shù)是（　�。�

• A． 1
• B． 2
• C． 3
• D． 4

Answer 1

分析 根據(jù)f（x）的表達(dá)式求出其定義域，判斷①正確；根據(jù)基本不等式的性質(zhì)求出f（x）的值域，判斷②正確；根據(jù)奇偶性的定義，判斷③正確；根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性，判斷④錯(cuò)誤．

解答 解：①∵函數(shù)$f（x）=\frac{x}{{{x^2}+1}}$，
∴f（x）的定義域是（-∞，+∞），
故①正確；       
②f（x）=$\frac{1}{x+\frac{1}{x}}$，
x＞0時(shí)：f（x）≤$\frac{1}{2}$，
x＜0時(shí)：f（x）≥-$\frac{1}{2}$，
故f（x）的值域是$[-\frac{1}{2}，\;\frac{1}{2}]$，
故②正確；
③f（-x）=-f（x），f（x）是奇函數(shù)，
故③正確；
④由f′（x）=$\frac{1{-x}^{2}}{{{（x}^{2}+1）}^{2}}$，
令f′（x）＞0，解得：-1＜x＜1，
令f′（x）＜0，解得：x＞1或x＜-1，
∴f（x）在區(qū)間（0，2）上先增后減，
故④錯(cuò)誤；
故選：C．

點(diǎn)評 本題考察了函數(shù)的定義域、值域問題，考察函數(shù)的奇偶性和單調(diào)性，是一道中檔題．