Question

9．平面直角坐標(biāo)系xOy中，以O(shè)為極點(diǎn)，x軸正半軸為極軸，建立極坐標(biāo)系的極坐標(biāo)方程，已知曲線C₁：$\left\{\begin{array}{l}{x=1+2cosα}\\{y=2sinα}\end{array}\right.$（α為參數(shù)）與曲線C₂的極坐標(biāo)方程為ρ=4sinθ．
（1）分別寫出曲線C₁，C₂的普通方程；
（2）求C₁和C₂公共弦的長(zhǎng)度．

Answer 1

分析 （1）利用sin²θ+cos²θ=1消參數(shù)得到C₁的普通方程，對(duì)ρ=4sinθ兩邊同乘以ρ即可得到曲線C₂的普通方程；
（2）由普通方程可知兩曲線為圓，求出圓心距和半徑，根據(jù)垂徑定理得出公共弦長(zhǎng)．

解答 解：（1）由$\left\{\begin{array}{l}{x=1+2cosα}\\{y=2sinα}\end{array}\right.$得cosθ=$\frac{x-1}{2}$，sinθ=$\frac{y}{2}$．∴曲線C₁的普通方程為$（\frac{x-1}{2}）^{2}$+$\frac{{y}^{2}}{4}$=1，即（x-1）²+y²=4；
由ρ=4sinθ得ρ²=4ρsinθ，∴曲線C₂的普通方程為x²+y²-4y=0．即x²+（y-2）²=4．
（2）曲線C₁，的圓心為C₁（1，0），半徑r₁=2，曲線C₂的圓心為C₂（0，2），半徑r₂=2．
∴兩圓的圓心距d=$\sqrt{{1}^{2}+{2}^{2}}$=$\sqrt{5}$．∵r₁=r₂，
∴兩圓的公共弦長(zhǎng)為2$\sqrt{{{r}_{1}}^{2}-（\fracwsvorud{2}）^{2}}$=$\sqrt{11}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了參數(shù)方程，極坐標(biāo)方程與普通方程的互化，圓與圓的位置關(guān)系，屬于基礎(chǔ)題．