Question

【題目】已知函數．

（1）討論的單調性；

（2）當時，若恒成立，求的取值范圍．

Answer 1

【答案】（1）見解析（2）

【解析】

（1）先求得函數的導函數，然后根據三種情況，討論的單調性.

（2）由題可知在上恒成立，構造函數，利用導數研究的單調性和最值，對分成兩種進行分類討論，根據在上恒成立，求得的取值范圍.

（1），

當時，令，得，令，得或，

所以在上單調遞增，在上單調遞減．

當時，在上單調遞增．

當時，令，得，令，得或，

所以在上單調遞減，在上單調遞增．

（2）由題可知在上恒成立，

令，則，

令，則，

所以在上為減函數，．

當時，，即在上為減函數，

則，所以，即，得．

當時，令，若，則，

所以，所以，

又，所以在上有唯一零點，設為，

在上，，即單調遞增，在上，，即單調遞減，則的最大值為，

所以恒成立．

由，得，則．

因為，所以，由，得．

記，則，

所以在上是減函數，故．

綜上，的取值范圍為．