Question

17．在平面直角坐標(biāo)系xOy中，已知向量$\overrightarrow a$=（2，0），$\overrightarrow b$=（0，1）．設(shè)向量$\overrightarrow x=\overrightarrow a+（{1+cosθ}）\overrightarrow b$，$\overrightarrow y=-k\overrightarrow a+{sin^2}$$θ•\overrightarrow b$，其中0＜θ＜$\frac{π}{2}$．
（1）若$\overrightarrow x$∥$\overrightarrow y$，且θ=$\frac{π}{3}$，求實(shí)數(shù)k的值；
（2）若$\overrightarrow x$⊥$\overrightarrow y$，求實(shí)數(shù)k的最大值，并求取最大值時(shí)cosθ的值．

Answer 1

分析 （1）把θ=$\frac{π}{3}$代入$\overrightarrow x=\overrightarrow a+（{1+cosθ}）\overrightarrow b$，$\overrightarrow y=-k\overrightarrow a+{sin^2}$$θ•\overrightarrow b$，結(jié)合已知向量的坐標(biāo)可得$\overrightarrow{x}，\overrightarrow{y}$的坐標(biāo)，再由向量共線的坐標(biāo)表示列式求得k值；
（2）由$\overrightarrow x$⊥$\overrightarrow y$，結(jié)合向量垂直的坐標(biāo)表示可得$k=\frac{1}{4}{sin^2}θ（{1+cosθ}）$．換元后利用導(dǎo)數(shù)求得最值，并得到k取最大值時(shí)cosθ的值．

解答 解：（1）當(dāng)$θ=\frac{π}{3}$時(shí)，$\overrightarrow x=（{2，\frac{3}{2}}）$，$\overrightarrow y=（{-2k，\frac{3}{4}}）$，
∵$\overrightarrow x$∥$\overrightarrow y$，∴$2•\frac{3}{4}=-2k•\frac{3}{2}$，
∴$k=-\frac{1}{2}$；
（2）依題意，$\overrightarrow x=（{2，1+cosθ}）$，$\overrightarrow y=（{-2k，{{sin}^2}θ}）$．
∵$\overrightarrow x$⊥$\overrightarrow y$，
∴4k=sin²θ（1+cosθ），即$k=\frac{1}{4}{sin^2}θ（{1+cosθ}）$．
令y=sin²θ（1+cosθ），即y=（1-cos²θ）（1+cosθ），其中$0＜θ＜\frac{π}{2}$．
令cosθ=t∈（0，1），則y=-t³-t²+t+1，t∈（0，1）．
則y′=-3t²-2t+1=-（t+1）（3t-1）．
令y′=0，則$t=\frac{1}{3}$，
∴當(dāng)$t∈（{0，\frac{1}{3}}）$時(shí)，y′＞0，即y=-t³-t²+t+1在$t∈（{\frac{1}{3}，1}）$上單調(diào)遞增；
當(dāng)$t∈（{\frac{1}{3}，1}）$時(shí)，y′＜0，即y=-t³-t²+t+1在$t=\frac{1}{3}$上單調(diào)遞減．
故當(dāng)$t=\frac{1}{3}$，即$cosθ=\frac{1}{3}$時(shí)，${y_{max}}=\frac{32}{27}$，此時(shí)實(shí)數(shù)k取最大值$\frac{8}{27}$．

點(diǎn)評 本題考查平面向量的數(shù)量積運(yùn)算，考查了向量共線與垂直的坐標(biāo)表示，訓(xùn)練了利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的最值，是中檔題．