Question

2．已知x∈R，符號[x]表示不超過x的最大整數(shù)，若函數(shù)f（x）=$\frac{[x]}{x}$（x＞0），則給出以下四個(gè)結(jié)論正確的是（　�。�

• A． 函數(shù)f（x）的值域?yàn)椋?，1]
• B． 函數(shù)f（x）沒有零點(diǎn)
• C． 函數(shù)f（x）是（0，+∞）上的減函數(shù)
• D． 函數(shù)g（x）=f（x）-a有且僅有3個(gè)零點(diǎn)時(shí)$\frac{3}{4}$＜a≤$\frac{4}{5}$

Answer 1

分析 當(dāng)0＜x＜1時(shí)，[x]=0，f（x）=0，故A，B錯(cuò)誤；
C中f（0.3）=0，f（1.3）＞0，可排除C；
D中因?yàn)閒（x）=$\frac{[x]}{x}$-a，有且僅有3個(gè)零點(diǎn)，則方程$\frac{[x]}{x}$=a在（0，+∞）上有且僅有3個(gè)實(shí)數(shù)根，且a≥0．
在[x]=1時(shí)，只能有一個(gè)f（x）=a，不同的[x]對應(yīng)不同的a值，對式子變形可得$\frac{[x]}{[x]+1}$＜a≤1，只需討論
[x]=3，則有 $\frac{3}{4}$＜a≤1；若[x]=4，則有 $\frac{4}{5}$＜a≤1．最后確定a的范圍．

解答 解：當(dāng)0＜x＜1時(shí)，[x]=0，f（x）=0，故A，B錯(cuò)誤；
C中f（0.3）=0，f（1.3）＞0，故C錯(cuò)誤；
D中因?yàn)閒（x）=$\frac{[x]}{x}$-a，有且僅有3個(gè)零點(diǎn)，
則方程$\frac{[x]}{x}$=a在（0，+∞）上有且僅有3個(gè)實(shí)數(shù)根，且a≥0．
∵x＞0，∴[x]≥0； 若[x]=0，則 $\frac{[x]}{x}$=0，不合題意；
若[x]≥1，因?yàn)閇x]≤x＜[x]+1，
∴$\frac{[x]}{[x]+1}$＜$\frac{[x]}{x}$≤1，
∴$\frac{[x]}{[x]+1}$＜a≤1，
且 $\frac{[x]}{[x]+1}$隨著[x]的增大而增大．
故不同的[x]對應(yīng)不同的a值，
故有[x]=1，2，3．
若[x]=1，則有 $\frac{1}{2}$＜a≤1；
若[x]=2，則有 $\frac{2}{3}$＜a≤1；
若[x]=3，則有 $\frac{3}{4}$＜a≤1；
若[x]=4，則有 $\frac{4}{5}$＜a≤1．
要使有三個(gè)實(shí)數(shù)根，即[x]=1，2，3．
∴$\frac{3}{4}$＜a≤$\frac{4}{5}$．
故選D．

點(diǎn)評 考查了定義法和抽象函數(shù)，難點(diǎn)是對題意的理解和分類討論．