Question

如圖1，A（-1，0）、B（1，0）是橢圓的長(zhǎng)軸上兩點(diǎn)，C，D分別為橢圓的短軸和長(zhǎng)軸的端點(diǎn)，P是CD上的動(dòng)點(diǎn)，若的最大值與最小值分別為3、．

（1）求橢圓的離心率；
（2）如圖2，點(diǎn)F（1，0），動(dòng)點(diǎn)Q、R分別在拋物線y²=4x及橢圓的實(shí)線部分上運(yùn)動(dòng)，且QR∥x軸，求△FQR的周長(zhǎng)l的取值范圍．

Answer 1

解：（1）設(shè)P（x₁，y₁），則，
∴，…（2分）
∵的最大值與最小值分別為3和，
∴x₁²+y₁²的最大值與最小值分別為4、，…（3分）
而x₁²+y₁²表示線段CD上的點(diǎn)到原點(diǎn)的距離OP的平方，
∴點(diǎn)OP的最大值為OD=2，
即a=2，…（5分）
OP的最小值即為O到線段CD的距離，
由平面幾何知識(shí)得OC=，即，…（7分）
得，則橢圓的離心率=．…（9分）
（2）設(shè)R（x₀，y₀），
由拋物線的定義知QF等于點(diǎn)Q到拋物線準(zhǔn)線x=1的距離，
∴QF+QR等于點(diǎn)R到拋物線準(zhǔn)線x=1的距離為x₀+1，…（11分）
由橢圓的第二定義知，
∴△NAB的周長(zhǎng)l=x₀+1=．…（13分）
由，
得：拋物線與橢圓交點(diǎn)的橫坐標(biāo)為，
即得．
所以△FQR的周長(zhǎng)l的取值范圍為．…（16分）
分析：（1）設(shè)P（x₁，y₁），則，故，由此能求出橢圓的離心率．
（2）設(shè)R（x₀，y₀），由拋物線的定義知QF等于點(diǎn)Q到拋物線準(zhǔn)線x=1的距離，故QF+QR等于點(diǎn)R到拋物線準(zhǔn)線x=1的距離為x₀+1．由橢圓的第二定義知，由此能求出△FQR的周長(zhǎng)l的取值范圍．
點(diǎn)評(píng)：本題主要考查橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程，簡(jiǎn)單幾何性質(zhì)，直線與橢圓的位置關(guān)系，拋物線的簡(jiǎn)單性質(zhì)等基礎(chǔ)知識(shí)．考查運(yùn)算求解能力，推理論證能力；考查函數(shù)與方程思想，化歸與轉(zhuǎn)化思想．