Question

某房地產開發(fā)公司計劃在一樓區(qū)內建造一個長方形公園ABCD，公園由長方形的休閑區(qū)A₁B₁C₁D₁和環(huán)公園人行道（陰影部分）組成．已知休閑區(qū)A₁B₁C₁D₁的面積為4000平方米，人行道的寬分別為4米和10米（如圖）
（Ⅰ）若設休閑區(qū)的長和寬的比，求公園ABCD所占面積S關于x的函數(shù)S（x）的解析式；
（Ⅱ）要使公園所占面積最小，休閑區(qū)A₁B₁C₁D₁的長和寬該如何設計？

Answer 1

【答案】分析：（I）設休閑區(qū)的寬為a米，則其長為ax米，根據(jù)休閑區(qū)A₁B₁C₁D₁的面積為4000平方米，將a用x表示，然后根據(jù)矩形的面積公式求出公園ABCD所占面積S關于x的函數(shù)即可；
（II）利用均值不等式求出最小值，注意等號成立的條件，從而求出長和寬．
解答：解：（Ⅰ）設休閑區(qū)的寬為a米，則其長為ax米，
∴，
∴S=（a+8）（ax+20）=a²x+（8x+20）a+160

（Ⅱ）S≥1600+4160=5760，
當且僅當時，公園所占面積最小，此時，a=40，ax=100，
即休閑區(qū)A₁B₁C₁D₁的長為100米，寬為40米．
點評：本題主要考查了函數(shù)模型的選擇與應用，以及利用均值不等式求最值，屬于中檔題．