Question

11．如圖，四棱錐P-ABCD的底面ABCD是平行四邊形，PB⊥面ABCD，BA=BD=$\sqrt{2}$，AD=2，E，F分別是棱AD，PC的中點．
（1）證明：EF∥平面PAB；
（2）若二面角P-AD-B為60°，求直線EF與平面PBC所成角的正弦值．

Answer 1

分析 （1）利用線面平行的判定定理或面面平行的性質定理證明．
（2）根據二面角平面角的定義先找出平面角，結合直線和平面所成角的定義作出線面角，根據三角形的邊角關系進行求解即可．

解答 （1）證明：取PB的中點M，連接MF，AM．
又∵F為PC的中點，∴FM∥BC，FM=$\frac{1}{2}$BC，（中位線定理），
∵E為AD的中點，ABCD是平行四邊形，
∴AE∥BC，AE=$\frac{1}{2}$BC，
∴FM∥AE，FM=AE，
∴四邊形AEFM為平行四邊形
∴EF∥AM，
∵MA?平面PAB，EF??平面PAB，
∴EF∥平面PAB．
（2）∵BA=BD，PA=PD 且 E為AD的中點，
∴BE⊥AD，PE⊥AD，
∴∠PEB為二面角P-AD-B的平面角，∴∠PEB=60°，
∵在Rt△ABD，BA=BD=$\sqrt{2}$，AD=2，
∴BE=1，
∵∠PEB=60°，∴Rt△PBE中，PB=$\sqrt{3}$，
∵BE⊥AD，AD∥BC，∴BE⊥BC，?
∵PB⊥面ABCD，∴PB⊥BE，?
由BC∩PB=B，∴BE⊥平面PBC，
∴∠EFB為直線EF與平面PBC所成角，
∵在Rt△ABM中，AM=$\frac{\sqrt{11}}{2}$∴$EF=\frac{{\sqrt{11}}}{2}$，
∴在Rt△EBF中，sin∠EFB=$\frac{BE}{EF}$=$\frac{1}{\frac{\sqrt{11}}{2}}$=$\frac{2\sqrt{11}}{11}$，
∴直線EF與平面PBC所成角的正弦值為$\frac{2\sqrt{11}}{11}$．

點評 本題主要考查線面平行以及空間二面角，直線和平面所成角的求解，要求熟練掌握相應的判定定理和性質定理．考查學生的運算和推理能力．