Question

已知f（x）為R上的偶函數(shù)，對任意x∈R都有f（x+6）=f（x）+f（3），當(dāng)x₁，x₂∈[0，3]，且x₁≠x₂時，有

f(x1)-f(x2)

x1-x2

＞0成立，給出四個命題：
①f（3）=1； 
②直線x=-6是函數(shù)y=f（x）的圖象的一條對稱軸；
③函數(shù)y=f（x）在[-9，-6]上為增函數(shù)； 
④函數(shù)y=f（x）在[-9，9]上有四個零點(diǎn)．
其中所有正確命題的序號為

 

．（請將正確的序號都填上）

Answer 1

考點(diǎn)：抽象函數(shù)及其應(yīng)用

專題：閱讀型,函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用

分析：①令x=-3，由偶函數(shù)的定義，可得f（3）=0，即可判斷；
②由于函數(shù)y=f（x）是以6為周期的偶函數(shù)，可得f（-6+x）=f（-6-x），即可判斷；
③由條件可得y=f（x）在區(qū)間[0，3]上為增函數(shù)，再由偶函數(shù)和周期性，即可判斷；
④先判斷方程f（x）=0在[-3，3]上有2個實(shí)根（-3和3），又函數(shù)y=f（x）是以6為周期的函數(shù)，即可判斷．

解答： 解：對于①：∵y=f（x）為R上的偶函數(shù)，且對任意x∈R，均有f（x+6）=f（x）+f（3），
∴令x=-3得：f（6-3）=f（-3）+f（3）=2f（3），∴f（3）=0，故①錯；
對于②：∵函數(shù)y=f（x）是以6為周期的偶函數(shù)，
∴f（-6+x）=f（x），f（-6-x）=f（x），
∴f（-6+x）=f（-6-x），∴y=f（x）圖象關(guān)于x=-6對稱，即②正確；
對于③：∵當(dāng)x₁，x₂∈[0，3]且x₁≠x₂時，有

f(x1)-f(x2)

x1-x2

＞0成立，
∴y=f（x）在區(qū)間[0，3]上為增函數(shù)，又函數(shù)y=f（x）是偶函數(shù)，
∴y=f（x）在區(qū)間[-3，0]上為減函數(shù)，又函數(shù)y=f（x）是以6為周期的函數(shù)，
∴y=f（x）在區(qū)間[-9，-6]上為減函數(shù)，故③錯誤．
對于④：∵y=f（x）在區(qū)間[-3，0]上為減函數(shù)，在區(qū)間[0，3]上為增函數(shù)，且f（3）=f（-3）=0，
∴方程f（x）=0在[-3，3]上有2個實(shí)根（-3和3），又函數(shù)y=f（x）是以6為周期的函數(shù)，
∴方程f（x）=0在區(qū)間[-9，-3）上有1個實(shí)根（為-9），在區(qū)間（3，9]上有一個實(shí)根（為9），
∴方程f（x）=0在[-9，9]上有4個實(shí)根．故④正確．
故答案為：②④

點(diǎn)評：本題考查抽象函數(shù)及其應(yīng)用，命題真假的判斷，著重考查函數(shù)的奇偶性、對稱性、周期性、單調(diào)性，考查函數(shù)的零點(diǎn)，屬于中檔題．