Question

如圖，在四棱錐P-ABCD中，AB⊥平面PAD，AB∥CD，△PAD是邊長(zhǎng)為

2

的正三角形，E是PB的中點(diǎn)，F(xiàn)是CD上的點(diǎn)，AB=2DF=1．
（Ⅰ）證明：EF⊥平面PAB；
（Ⅱ）若FC=2，求點(diǎn)C到平面EBF的距離．

Answer 1

考點(diǎn)：點(diǎn)、線、面間的距離計(jì)算,直線與平面垂直的判定

專題：綜合題,空間位置關(guān)系與距離

分析：（Ⅰ）取PA中點(diǎn)M，連接MD，ME，證明四邊形MEDF是平行四邊形，可得EF∥MD，再證明MD⊥平面PAB，即可證明EF⊥平面PAB．
（Ⅱ）若FC=2，利用等體積求點(diǎn)C到平面EBF的距離．

解答： （Ⅰ）證明：如圖，取PA中點(diǎn)M，連接MD，ME，
∵E是PB的中點(diǎn)，
∴ME∥AB，ME=

1

2

AB，
∵AB=2DF，AB∥CD，
∴ME∥DF，ME=DF
∴四邊形MEDF是平行四邊形，
∴EF∥MD，
∵PD=AD，∴MD⊥PA，
∵AB⊥平面PAD，∴MD⊥AB，
∵PA∩AB=A，∴MD⊥平面PAB，
∴EF⊥平面PAB．
（Ⅱ）解：由題意，△EBF中，EF=

6

2

，EB=

3

2

，BF=

3

2

，
∴EF²+EB²=BF²，
∴S_△EBF=

1

2

×

6

2

×

3

2

=

3 2

8

，
設(shè)點(diǎn)C到平面EBF的距離為h，則
∵FC=2，AD=

2

，∴S_△BFC=

2

，
∵E到平面BFC的距離為

6

4

，
∴由等體積可得

1

3

×

2

×

6

4

=

1

3

×

3 2

8

h，
∴h=

2 6

3

．

點(diǎn)評(píng)：本題考查直線與平面垂直的證明，求三棱錐的體積，解題時(shí)要認(rèn)真審題，注意合理地化立體幾何問題為平面幾何問題．