Question

已知a³+b³=2，求證：a+b≤2．

Answer 1

考點：不等式的證明

專題：推理和證明

分析：證法一：利用反證法，假設(shè)a+b＞2，利用立方和公式與基本不等式，導(dǎo)出矛盾，從而可證原結(jié)論成立．
證法二：假設(shè)a+b＞2，則a＞2-b，2=a³+b³＞（2-b）³+b³，整理得出（b-1）²＜0，導(dǎo)出矛盾式，從而可肯定原結(jié)論成立．

解答： 證法一：假設(shè)a+b＞2，則?
a³+b³=（a+b）（a²-ab+b²）＞2（a²-ab+b²），而a³+b³=2，故a²-ab+b²＜1，?
∴1+ab＞a²+b²≥2ab，?
從而ab＜1．?
∴a²+b²＜1+ab＜2．?
∴（a+b）²=a²+b²+2ab＜2+2ab＜4．?
∴a+b＜2．?
這與假設(shè)矛盾，故a+b≤2．
證法二：假設(shè)a+b＞2，則a＞2-b，故?
2=a³+b³＞（2-b）³+b³，?
即2＞8-12b+6b²，即（b-1）²＜0，?
這不可能，從而a+b≤2．

點評：本題考查不等式的證明，著重考查反證法，有的推至與已知矛盾，有的推至與已知事實矛盾，考查推理論證能力，屬于中檔題．