設(shè)m為實(shí)數(shù),函數(shù)f(x)=2x2+(x-m)|x-m|,h(x)=
f(x)
x
(x≠0)
0(x=0)

(1)若f(1)≥4,求m的取值范圍;
(2)當(dāng)m>0時(shí),求證h(x)在[m,+∞)上是單調(diào)遞增函數(shù);
(3)若h(x)對(duì)于一切x∈[1,2],不等式h(x)≥1恒成立,求實(shí)數(shù)m的取值范圍.
分析:(1)令x=1代入后對(duì)m的值進(jìn)行討論即可.
(2)先寫出函數(shù)h(x)的解析式,然后用增函數(shù)的定義法證明.
(2)轉(zhuǎn)化為二次函數(shù),從而根據(jù)二次函數(shù)的單調(diào)性解出實(shí)數(shù)m的范圍.
解答:解:(1)f(1)=2+(1-m)|1-m|≥4
當(dāng)m>1時(shí),(1-m)(m-1)≥2,無(wú)解;
當(dāng)m≤1時(shí),(1-m)(1-m)≥2,解得m≤1-
2

所以m≤1-
2

(2)由于m>0,x≥m.
所以h(x)=3x+
m2
x
-2m.
任取m≤x1≤x2,h(x2)-h(x1)=(x2-x1)(
3x1x2-m2
x1x2

x2-x1>0,3x1x2-m2>3m2-m2>0,x1x2>0
所以h(x2)-h(x1)>0即:h(x)在[m,+∞)為單調(diào)遞增函數(shù).
(3)、①m<1時(shí),x∈[1,2],f(x)=2x2+(x-m)(x-m)=3x2-2mx+m2,
h(x)=
f(x)
x
≥1
恒成立∴f(x)≥x恒成立,
即:g(x)=3x2-(2m+1)x+m2≥0
由于y=g(x)的對(duì)稱軸為x=
2m+1
6
<1
故g(x)在[1,2]為單調(diào)遞增函數(shù),
故g(1)≥0∴m2-2m+2≥0.
所以m<1.
②當(dāng)1≤m≤2時(shí),h(x)=
x-
m2
x 
+2m   1≤x≤m
3x+
m2
x 
-2m  m<x≤2

易證y=x-
m2
x 
+m在[1,m]為遞增,
由②得y=3x+
m2
x
-2m
在[m,2]為遞增,
所以,h(1)≥1,即0≤m≤2,
所以1≤m≤2.
③當(dāng)m>2時(shí),h(x)=x-
m2
x 
+2m(無(wú)解)
綜上所述m≤2.
點(diǎn)評(píng):本題主要考查函數(shù)的單調(diào)性證明和應(yīng)用.屬中檔題.
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設(shè)m為實(shí)數(shù),函數(shù)f(x)=-+2x+m,x∈R

(Ⅰ)求f(x)的單調(diào)區(qū)間與極值;

(Ⅱ)求證:當(dāng)m≤1且x>0時(shí),>2+2mx+1.

 

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