Question

14．設函數(shù)y=f（x）在區(qū)間（a，b）的導函數(shù)f′（x），f′（x）在區(qū)間（a，b）的導函數(shù)f″（x），若在區(qū)間（a，b）上f″（x）＜0恒成立，則稱函數(shù)f（x）在區(qū)間（a，b）上為凸函數(shù)，已知f（x）=$\frac{1}{12}$x⁴-$\frac{1}{6}$mx³-$\frac{3}{2}$x²，若當實數(shù)m滿足|m|≤2，函數(shù)f（x）在（a，b）上為凸函數(shù)，則b-a的最大值是2．

Answer 1

分析 利用函數(shù)總為“凸函數(shù)”，即f″（x）＜0恒成立，轉(zhuǎn)化為不等式恒成立問題，討論解不等式即可．

解答 解：由函數(shù) $f（x）=\frac{1}{12}{x^4}-\frac{1}{6}m{x^3}-\frac{3}{2}{x^2}$得，f″（x）=x²-mx-3，
當|m|≤2時，f″（x）=x²-mx-3＜0恒成立?當|m|≤2時，mx＞x²-3恒成立．
當x=0時，f″（x）=-3＜0顯然成立．
當x＞0，$x-\frac{3}{x}＜m$，
∵m的最小值是-2．
∴$x-\frac{3}{x}＜-2$．
從而解得0＜x＜1；
當x＜0，$x-\frac{3}{x}＞m$，
∵m的最大值是2，
∴$x-\frac{3}{x}＞2$，
從而解得-1＜x＜0．
綜上可得-1＜x＜1，從而（b-a）_max=1-（-1）=2，
故答案為：2．

點評 本題考查函數(shù)的導數(shù)與不等式恒成立問題的解法，關(guān)鍵是要理解題目所給信息（新定義），考查知識遷移與轉(zhuǎn)化能力，屬于中檔題．