Question

（2012•韶關(guān)二模）已知函數(shù)f（x）=xlnx．
（1）求函數(shù)f（x）的極值；
（2）設(shè)函數(shù)g（x）=f（x）-k（x-1），其中k∈R，求函數(shù)g（x）在區(qū)間[1，e]上的最大值．

Answer 1

分析：（1）確定函數(shù)的定義域，利用導(dǎo)數(shù)，確定函數(shù)的單調(diào)性，從而可求函數(shù)的極值；
（2）利用導(dǎo)數(shù)，確定函數(shù)的單調(diào)性，分類討論，確定函數(shù)的最值即可．

解答：解：（1）函數(shù)的定義域?yàn)椋?，+∞）
求導(dǎo)函數(shù)，可得f'（x）=lnx+1．…（1分）
令f'（x）≥0，得lnx≥-1=lne^-1，x≥lne-1=

1

e

；
令f'（x）≤0，得x∈(0，

1

e

]．…（3分）
∴f（x）的單調(diào)遞增區(qū)間是[

1

e

，+∞)，單調(diào)遞減區(qū)間是(0，

1

e

]，
∴函數(shù)的極小值為f(

1

e

)=-

1

e

，f（x）無極大值…（5分）
（2）g（x）=xlnx-k（x-1），則g'（x）=lnx+1-k，由g'（x）=0，得x=e^k-1，
所以，在區(qū)間（0，e^k-1）上，g（x）為遞減函數(shù)，在區(qū)間（e^k-1，+∞）上，g（x）為遞增函數(shù)．…（8分）
當(dāng)e^k-1≤1，即k≤1時，在區(qū)間[1，e]上，g（x）為遞增函數(shù)，
所以，g（x）最大值為g（e）=e-ke+k．…（10分）
當(dāng)1＜e^k-1＜e，即1＜k＜2時，g（x）的最大值是g（1）或g（e）g（1）=g（e），得k=

e

e-1

當(dāng)1＜k＜

e

e-1

時，g（e）=e-ek+k＞0=g（1），g（x）最大值為g（e）=e-ke+k
當(dāng)

e

e-1

≤k＜2時，g（e）=e-ek+k＜0=g（1），g（x）最大值為g（1）=0…（12分）
當(dāng)e^k-1≥e，即k≥2時，在區(qū)間[1，e]上，g（x）為遞減函數(shù)，
所以g（x）最大值為g（1）=0．
綜上，當(dāng)k＜

e

e-1

時，g（x）最大值為e-ke+k；　當(dāng)k≥

e

e-1

時，g（x）的最大值是0…（14分）

點(diǎn)評：本題考查了利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的極值，考查閉區(qū)間上函數(shù)的最值，求函數(shù)在閉區(qū)間[a，b]上的最大值與最小值是通過比較函數(shù)在（a，b）內(nèi)所有極值與端點(diǎn)函數(shù)f（a），f（b） 比較而得到的．