Question

如圖，四棱錐P-ABCD中，PA⊥平面ABCD，PB與平面ABCD所成的角為45°，底面ABCD為直角梯形，∠ABC=∠BAD=90°，PA=BC=

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AD．
（1）求證：平面PAC⊥面PCD；
（2）在棱PD上找一點(diǎn)E，使CE∥面PAB，并說明理由；
（3）在（2）的前提下，求二面角E-AC-D的大�。�

Answer 1

分析：（1）由已知中PA⊥平面ABCD，∠PBA=45°，底面ABCD為直角梯形，∠ABC=∠BAD=90°，PA=BC=

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AD，由勾股定理可得AC⊥CD，PA⊥CD，再由線面垂直的判定定理可得CD⊥面PAC，再由面面垂直的判定定理即可得到答案．
（2）取棱PD的中點(diǎn)E，做EF⊥AD于F，則F為AD的中點(diǎn)，根據(jù)三角形中位線定理可得EF∥PA，根據(jù)線面平行的判定定理，我們可得CE∥面PAB；
（3）先過F作FG垂直AC于G，得∠EGF即為二面角E-AC-D的平面角；最后通過求EF以及FG的長(zhǎng)即可求出結(jié)論．

解答：證明：（1）設(shè)PA=1，由題意PA=BC=1，AD=2．
∵PA⊥面ABCD，∴PA⊥AB，而∠PBA=45°，∴AB=1，
又∠ABC=∠BAD=90°，得CD=AC=

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．
由勾股定理逆定理得AC⊥CD．
又∵PA⊥CD，PA∩AC=A，
∴CD⊥面PAC，
又CD?面PCD，∴面PAC⊥面PCD．
（2）取E為PD的中點(diǎn)，作EF⊥AD于F，則F為AD的中點(diǎn)，且EF∥PA，
∴EF∥平面PAB，
由F為AD的中點(diǎn)以及PA=BC=

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2

AD可得AF=BC，AF∥BC
所以；ABCF為平行四邊形；
∴CF∥AB；
CF∥平面PAB，
得到平面EFC∥平面PAB，
∴CE∥面PAB
（3）由第二問知，EF⊥平面ABCD；
過F作FG垂直AC于G，
由三垂線定理得∠EGF即為二面角E-AC-D的平面角．
由第一問得到的AC⊥CD
可得FG∥CD，F(xiàn)G=

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CD，
在RT△EFG中，EF=

1

2

PA=

1

2

，F(xiàn)G=

1

2

CD=

2

2

．
∴tan∠EGF=

EF

FG

=

2

2

．
∴二面角E-AC-D的大小為：arctan

2

2

．

點(diǎn)評(píng)：本題考查的知識(shí)點(diǎn)是平面與平面垂直的判定，直線與平面平行的判定，其中（1）的關(guān)鍵是證得CD⊥面PAC，（2）的關(guān)鍵是證得EF∥PA．