Question

如圖，長(zhǎng)方體ABCD-A₁B₁C₁D₁中，DA=DC=2，，E是C₁D₁的中點(diǎn)，F(xiàn)是CE的中點(diǎn)．
（1）求證：EA∥平面BDF；
（2）求證：平面BDF⊥平面BCE．

Answer 1

【答案】分析：（1）連接AC交BD于O點(diǎn)，連接OF，可得OF是△ACE的中位線(xiàn)，OF∥AE，從而證得EA∥平面BDF．
 （2）計(jì)算可得DE=DC=2，又F是CE的中點(diǎn)，所以DF⊥CE．又BC⊥平面CDD₁C₁，所以DF⊥BC．得到DF⊥平面BCE，
從而證得平面BDF⊥平面BCE．
解答：解：（1）連接AC交BD于O點(diǎn)，連接OF，可得OF是△ACE的中位線(xiàn)，OF∥AE，
又AE?平面BDF，OF?平面BDF，所以，EA∥平面BDF．
（2）計(jì)算可得DE=DC=2，又F是CE的中點(diǎn)，所以DF⊥CE，
又BC⊥平面CDD₁C₁，所以DF⊥BC，又BC∩CE=C，
所以，DF⊥平面BCE，又DF?平面BDF，
所以，平面BDF⊥平面BCE．
點(diǎn)評(píng)：本題考查證明線(xiàn)線(xiàn)平行、線(xiàn)面平行、面面垂直的方法，直線(xiàn)和平面平行的判定、性質(zhì)，面面垂直的判定定理的應(yīng)用，
證明DF⊥平面BCE，是解題的難點(diǎn)．