Question

19．已知數(shù)列{a_n}的前n項和為S_n，S₁=2，S_n=6，且S_n-S_n-2=3n（n≥3），則數(shù)列{a_n}的通項公式a_n=$\left\{\begin{array}{l}\frac{3n}{2}+\frac{1}{2}，n為奇數(shù)\\ \frac{3n}{2}+1，n為偶數(shù)\end{array}\right.$．

Answer 1

分析 由已知求得a₁，a₂，再由數(shù)列遞推式可得數(shù)列{a_n}的奇數(shù)項和偶數(shù)項均構(gòu)成以3為公差的等差數(shù)列，然后分類由等差數(shù)列的通項公式求得答案．

解答 解：由S_n-S_n-2=3n，得a_n+a_n-1=3n（n≥2），
∴a_n+1+a_n=3（n+1），
兩式作差得：a_n+1-a_n-1=3（n≥2），
∴數(shù)列{a_n}的奇數(shù)項和偶數(shù)項均構(gòu)成以3為公差的等差數(shù)列．
∵S₁=2，S₂=6，∴a₁=2，a₂=4．
∴當(dāng)n為奇數(shù)時，${a}_{n}={a}_{1}+（\frac{n+1}{2}-1）d=2+3×\frac{n-1}{2}=\frac{3n}{2}+\frac{1}{2}$；
當(dāng)n為偶數(shù)時，${a}_{n}={a}_{2}+（\frac{n}{2}-1）d=4+3×\frac{n-2}{2}=\frac{3n}{2}+1$．
∴a_n=$\left\{\begin{array}{l}\frac{3n}{2}+\frac{1}{2}，n為奇數(shù)\\ \frac{3n}{2}+1，n為偶數(shù)\end{array}\right.$．
故答案為：$\left\{\begin{array}{l}\frac{3n}{2}+\frac{1}{2}，n為奇數(shù)\\ \frac{3n}{2}+1，n為偶數(shù)\end{array}\right.$．

點(diǎn)評 本題考查數(shù)列遞推式，考查等差關(guān)系的確定，訓(xùn)練了等差數(shù)列通項公式的求法，屬于中檔題．