Question

已知數列{a_n}的通項公式為
設．證明：當．

Answer 1

【答案】分析：由已知得，，故，，由錯位相減法知．故，問題轉化為證明：當n≥6時，n（n+2）＜2ⁿ，再用數學歸納法證明．
解答：解：由已知得，，
故，（2分）
（3分）
（4分）
兩式相減得，（5分）
化簡得．故（7分）
因而
問題轉化為證明：當n≥6時，n（n+2）＜2ⁿ，（9分）
采用數學歸納法．
（1）當n=6時，n（n+2）=6×8=48，2ⁿ=2⁶=64，48＜64，
此時不等式成立，（10分）
（2）假設n=k（k≥6）時不等式成立，即k（k+2）＜2^k，（11分）
那么當n=k+1時，2^k+1=2×2^k＞2k（k+2）=2k²+4k=k²+4k+k²＞k²+4k+3=（k+1）（k+3）=（k+1）[（k+1）+2]
這說明，當n=k+1時不等式也成立（13分）
綜上可知，當n≥6時，n（n+2）＜2ⁿ成立，原命題得證．（14分）
點評：本題考查數列的性質和綜合應用，解題時要注意合理地進行等價轉化和數學歸納法的證明過程．