Question

18．已知f（x）=$\left\{\begin{array}{l}{|lnx|，x＞0}\\{x+2，x≤0}\end{array}\right.$，若關(guān)于x的方程f²（x）-af（x）+b=0有6個(gè)不同的解，則a的取值范圍為（　�。�

• A． （0，3）
• B． （0，4）
• C． （0，4]
• D． [1，4]

Answer 1

分析 設(shè)t=f（x），作出函數(shù)t=f（x）的圖象，根據(jù)條件轉(zhuǎn)化為一元二次方程根的分布問(wèn)題，然后建立不等式組，利用線性規(guī)劃的知識(shí)進(jìn)行求解．

解答 解：設(shè)t=f（x），則方程等價(jià)為t²-at+b=0．
作出函數(shù)t=f（x）的圖象如圖：
當(dāng)y=t≥2時(shí)，t=f（x）有兩個(gè)根，
當(dāng)0＜t＜2時(shí)，t=f（x）有三個(gè)根，
當(dāng)t=0時(shí)，t=f（x）有兩個(gè)根，
當(dāng)t＜0時(shí)，t=f（x）有一個(gè)根，
若程f²（x）-af（x）+b=0有6個(gè)不同的解，
則等價(jià)為t²-at+b=0有兩個(gè)不同的根，滿足0＜t₁＜2，0＜t₂＜2，
設(shè)h（t）=t²-at+b，
則滿足$\left\{\begin{array}{l}{△={a}^{2}-4b≥0}\\{0＜-\frac{-a}{2}＜2}\\{h（0）=b＞0}\\{h（2）=4-2a+b＞0}\end{array}\right.$，即$\left\{\begin{array}{l}{4b≤{a}^{2}}\\{0＜a＜4}\\{b＞0}\\{-2a+b+4＞0}\end{array}\right.$，
作出不等式組對(duì)應(yīng)的平面區(qū)域如圖陰影部分，

由$\left\{\begin{array}{l}{-2a+b+4=0}\\{4b={a}^{2}}\end{array}\right.$，得$\left\{\begin{array}{l}{a=4}\\{b=4}\end{array}\right.$，即B（4，4），
其中0＜a＜4，
故實(shí)數(shù)a的取值范圍是（0，4），
故選：B．

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查函數(shù)與方程的應(yīng)用，利用換元法結(jié)合數(shù)形結(jié)合轉(zhuǎn)化為一元二次方程根的分布，結(jié)合線性規(guī)劃的知識(shí)是解決本題的關(guān)鍵．綜合性較強(qiáng)，涉及的知識(shí)點(diǎn)較多．